Vẽ  đường kính CECE của đường tròn (O).(O).

Ta có ˆEAC=900,ˆEDC=900EAC^=900,EDC^=900 (góc nội tiếp chắn đường kính ECEC ).

Từ đó ta có AE⊥AC.AE⊥AC. Mặt khác theo giả thiết AC⊥BD.AC⊥BD.

Kéo theo AE//BD.AE//BD. Vậy AEDBAEDB là hình thang.

Do hình thang AEDBAEDB nội tiếp (O)(O) nên nói phải là hình thang cân.

Kéo theo AB=DEAB=DE (các cạnh bên hình thang cân).

Từ đó ta có AB2+CD2=DE2+DC2=EC2=(2a)2=4a2AB2+CD2=DE2+DC2=EC2=(2a)2=4a2 (do ΔEDCΔEDC vuông tại D).D).

Áp dụng bất đẳng thức Cô-si cho (AB2,BD2)(AB2,BD2) ta có AB2+BD2≥2AB.CDAB2+BD2≥2AB.CD⇒2(AB2+BD2)≥AB2+BD2+2AB.CD⇒2(AB2+BD2)≥AB2+BD2+2AB.CD=(AB+CD)2.=(AB+CD)2.

Kéo theo (AB+CD)2≤2(4a2)=8a2(AB+CD)2≤2(4a2)=8a2⇒AB+CD≤2√2a.⇒AB+CD≤22a.

Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi AB=CD.AB=CD.

Xét tam giác ΔABI,ΔDCIΔABI,ΔDCI có AB=CD,AB=CD, ˆABD=ˆACDABD^=ACD^ (góc nội tiếp cùng chắn cung AD),AD), ˆBAC=ˆDCBBAC^=DCB^ (góc nội tiếp cùng chắn cung BC).BC).

Do đó ΔABI=ΔDCI(g.c.g.)ΔABI=ΔDCI(g.c.g.) Kéo theo AI=ID,IB=IC.AI=ID,IB=IC. Suy ra AC=AI+IC=ID+IB=BD.AC=AI+IC=ID+IB=BD.