1) Vì MA, MB là các tiếp tuyến của (O) tại A và B nên:

    ˆMAO=ˆMBO=900MAO^=MBO^=900

Tứ giác MAOB có ˆMAO+ˆMBO=1800MAO^+MBO^=1800

Mà hai góc ở vị trí đối nhau.

⇒⇒ Tứ giác MAOB nội tiếp đường tròn.

2) Ta có: ˆM1=ˆE1M^1=E^1 (so le trong, AE // MO) và ˆA1=ˆE1(=12sdAF)A^1=E^1(=12sdAF)

⇒ˆM1=ˆA1⇒M^1=A^1

ΔNMFΔNMF và ΔNAMΔNAM có: ˆMNAMNA^ chung; ˆM1=ˆA1M^1=A^1

⇒ΔNMF⇒ΔNMF đồng dạngΔNAMΔNAM (g.g)

⇒NMNA=NFNM⇒NM2=NF.NA⇒NMNA=NFNM⇒NM2=NF.NA

Có MA = MB (tính chất 2 tiếp tuyến cắt nhau) và OA = OB = R

⇒⇒ MO là đường trung trực của AB

⇒AH⊥MO⇒AH⊥MO và HA = HB

ΔMAFΔMAF và ΔMEAΔMEA có: ˆAMEAME^ chung; ˆA1=ˆE1A^1=E^1

⇒ΔMAF⇒ΔMAF đồng dạng ΔMEAΔMEA (g.g)

⇒MAME=MFMA⇒MA2=MF.ME⇒MAME=MFMA⇒MA2=MF.ME

Áp dụng hệ thức lượng vào tam giác vuông MAO, có: MA2 = MH.MO

Do đó: ME.MF = MH.MO ⇒MEMH=MOMF⇒MEMH=MOMF

⇒ΔMFH⇒ΔMFH đồng dạng ΔMOEΔMOE (c.g.c)

⇒ˆH1=ˆE2⇒H^1=E^2

Vì ˆBAEBAE^ là góc vuông nội tiếp (O) nên E, O, B thẳng hàng

⇒ˆE2=ˆA2(=12sdEB)⇒ˆH1=ˆA2⇒ˆN1+ˆH1=ˆN1+ˆA2=900⇒HF⊥NA⇒E^2=A^2(=12sdEB)⇒H^1=A^2⇒N^1+H^1=N^1+A^2=900⇒HF⊥NA

Áp dụng hệ thức lượng vào  vuông NHA, có: NH2 = NF.NA

⇒NM2=NH2⇒NM=NH⇒NM2=NH2⇒NM=NH

3) Áp dụng hệ thức lượng vào  vuông NHA, có: HA2 = FA.NA và HF2 = FA.FN

Mà HA = HB

⇒HB2HF2=HA2HF2=FA.NAFA.FN=NANF⇒HB2HF2=HA2HF2=FA.NAFA.FN=NANF

Vì AE // MN nên EFMF=FANFEFMF=FANF (hệ quả của định lí Ta-lét)

⇒HB2HF2−EFMF=NANF−FANF=NFNF=1