Bài tập  /  Bài đang cần trả lời

Cho số tự nhiên ( n lớn hơn hoặc bằng 2) và số nguyên tố p thỏa mãn p - 1 chia hết cho n đồng thời n^3 - 1 chia hết cho p. Chứng minh rằng n + p là một số chính phương

Giúp mình bài 3 và 4 với
Hứa like và chấm điểm

3 trả lời
Hỏi chi tiết
3.158
3
0
Mai Thy
01/07/2021 20:59:23
+5đ tặng

Giải như sau:
Từ đề bài đặt p2+3pq+q2=a2p2+3pq+q2=a2
Suy ra (p+q)2+pq=a2(p+q)2+pq=a2
Do đó: pq=(a−p−q)(a+p+q)pq=(a−p−q)(a+p+q) và a+p+q>a−p−qa+p+q>a−p−q
Nhận thấy vì p,qp,q là số nguyên tố nên ta chỉ xét 2 TH sau:
TH1: a−p−q=1a−p−q=1và a+p+q=pqa+p+q=pq
Suy ra a=1+p+qa=1+p+q và a=pq−p−qa=pq−p−q
Kết hợp suy ra 1+p+q=pq−p−q1+p+q=pq−p−q suy ra pq−2p−2q−1=0pq−2p−2q−1=0 suy ra (p−2)(q−2)=5(p−2)(q−2)=5 suy ra (p,q)=(3,7),(7,3)(p,q)=(3,7),(7,3)
TH2: Nếu a+p+q=qa+p+q=q <1> (trường hợp bằng pp tương tự)
Khi đó a−p−q=pa−p−q=p <2> Kết hợp <2> và <1> có q+3p=0q+3p=0 vô lý
Tóm lại bài chỉ có nghiệm (p,q)=(3,7),(7,3)(p,q)=(3,7),(7,3)

Mở khóa để xem toàn bộ nội dung trả lời

(?)
Bạn đã đạt đến giới hạn của mình. Bằng cách Đăng ký tài khoản, bạn có thể xem toàn bộ nội dung trả lời
Cải thiện điểm số của bạn bằng cách đăng ký tài khoản Lazi.
Xem toàn bộ các câu trả lời, chat trực tiếp 1:1 với đội ngũ Gia sư Lazi bằng cách Đăng nhập tài khoản ngay bây giờ
Tôi đã có tài khoản? Đăng nhập
3
1
thỏ
01/07/2021 21:00:44
+4đ tặng
1
0
26. Ngô Nam Khánh
14/03/2022 16:21:16

n3−1=(n−1)(n2+n+1)⋮p(p−1)⋮n⇒p−1≥n⇒p≥n+1n3−1=(n−1)(n2+n+1)⋮p(p−1)⋮n⇒p−1≥n⇒p≥n+1

Vì p≥n+1⇒(n−1)p≥n+1⇒(n−1) không chia hết cho p.

Do đó: (n−1)(n2+n+1)⋮p⇔(n2+n+1)⋮p(n−1)(n2+n+1)⋮p⇔(n2+n+1)⋮p

Đặt: p−1=kn,k≥1⇒p=kn+1(∗)p−1=kn,k≥1⇒p=kn+1(∗)

⇒(n2+n+1)⋮(kn+1)⇒kn+1≤n2+n+1⇔kn≤n2+n⇔k≤n+1k(n2+n+1)−n(kn+1)⋮(kn+1)⇒[(k−1)n+k]⋮(kn+1)k≥1⇒(k−1)n+k>0⇒(k−1)n+k≥kn+1⇒k≥n+1⇒k=n+1⇒p=kn+1=n2+n+1⇒n+p=n2+2n+1=(n+1)2⇒(n2+n+1)⋮(kn+1)⇒kn+1≤n2+n+1⇔kn≤n2+n⇔k≤n+1k(n2+n+1)−n(kn+1)⋮(kn+1)⇒[(k−1)n+k]⋮(kn+1)k≥1⇒(k−1)n+k>0⇒(k−1)n+k≥kn+1⇒k≥n+1⇒k=n+1⇒p=kn+1=n2+n+1⇒n+p=n2+2n+1=(n+1)2

Vậy n+pn+p  là một số chính phương.

Bạn hỏi - Lazi trả lời

Bạn muốn biết điều gì?

GỬI CÂU HỎI
Học tập không giới hạn cùng học sinh cả nước và AI, sôi động, tích cực, trải nghiệm
Bài tập Toán học Lớp 8 mới nhất
Trắc nghiệm Toán học Lớp 8 mới nhất

Hôm nay bạn thế nào? Hãy nhấp vào một lựa chọn, nếu may mắn bạn sẽ được tặng 50.000 xu từ Lazi

Vui Buồn Bình thường

Học ngoại ngữ với Flashcard

×
Trợ lý ảo Trợ lý ảo
×
Gia sư Lazi Gia sư