vì Tam gáic AEQ = BEC nên QAE=CBE, mà chugns ở vị trí so le trong nên AQ//BC.
=> QAB=CBA
xét tam giác ABQ và tam giác ABC có
     QAB=CAB     AB chung            CAB=QBA( AC//BQ)
vậy chúng bằng nhau(g.c.g)
AQB=ACB
mà AQB=CBR(đồng vị) từ hai điều này suy ra ACB=RBC
vì tam giác AFB=CFB nên A=C mà chúng ở vị trí so le trong nên AP//BC=>PAC=BCA
Xét tam giác ABC và PCA có
     BAC=PCA(AB//PC)     AC chung     PAC=BCA(cmt)
vậy chúng bằng nhau theo trường hợp g.c.g
=>ABC=CPA
mà CPA=RCP( đồng vị) từ hai điều này suy ra ABC=RCB.
Xét tam giác ABC và RCB có 
AQB=CBR             BC chung              CPA=RCP
Vậy chúng bằng nhau theo trường hợp g.c.g
=> AB=RC;AC=RB(cạnh tương ứng)
* Vì AQ//BC,AP//BC, theo tiên đề Ơ-clit => ba điểm Q,A,P thẳng hàng
vì BC = AQ = AP nên BC = 1/2 QP
* Vì AC = BQ(cmt)      AC=BR(cmt)
nên AC = 1/2 QR
vì theo đề cho ba điểm Q,B,R đã thằng hàng nên không cần chứng minh. ba điểm P,C,R cũng vậy.
* Vì AB=CP(cmt)      AB=RC(cmt)
nên AB= 1/2 RP
ta có chu vi tam giác PQR = PQ + QR + RP = 1/2 BC + 1/2 AC + 1/2 AB = 1/2 ( AB + AC + BC) = 1/2 Chu vi tam giác ABC 
điều phải chứng minh.
d) Xét tam giác  PQR có BQ=BR(cùng bằng AC)                        CR=CP(cùng bằng AB)                      AQ=AP(cmt) và Q,A,P thẳng hàng
suy ra B,C và A lần lượt là trung điểm của QR, RP và PQ.
gọi giao điểm của QC và BP là H
tam giác PQR có QC, PB và RA là các đường trung tuyến giao nhau tại H nên H là trọng tâm. Xong
vậy 3 đường này đồng quy