Ta có: A′A′ và B′B′ lần lượt là trung điểm KA,KBKA,KB

⇒A′B′⇒A′B′ là đường trung bình ΔAKBΔAKB

⇒A′B′//AB⇒A′B′//AB

⇒ˆA′B′K=ˆABK⇒A′B′K^=ABK^ (đồng vị) (1)(1)

Mặt khác: B′B′ và D′D′ lần lượt là trung điểm KB,KDKB,KD

⇒B′D′⇒B′D′ là đường trung bình ΔBKDΔBKD

⇒B′D′//BD⇒B′D′//BD

⇒ˆD′B′K=ˆDBK⇒D′B′K^=DBK^ (đồng vị) (2)(2)

Trừ từng vế (1),(2)(1),(2) ta được: ˆA′B′D′=ˆABDA′B′D′^=ABD^ (∗)(∗)

Ta lại có: A′A′ và C′C′ lần lượt là trung điểm KA,KCKA,KC

⇒A′C′⇒A′C′ là đường trung bình ΔKACΔKAC

⇒A′C′//AC⇒A′C′//AC

⇒ˆA′C′K=ˆACK⇒A′C′K^=ACK^ (đồng vị) (3)(3)

Có: C′C′ và D′D′ lần lượt là trung điểm KC,KDKC,KD

⇒C′D′⇒C′D′ là đường trung bình ΔKCDΔKCD

⇒C′D′//CD⇒C′D′//CD

⇒ˆKC′D′=ˆKCD⇒KC′D′^=KCD^ (đồng vị) (4)(4)

Cộng từng vế (3),(4)(3),(4) ta được: ˆA′C′D′=ˆACDA′C′D′^=ACD^ (∗∗)(∗∗)

Cộng từng vế (∗),(∗∗)(∗),(∗∗) ta được:

ˆA′B′D′+ˆA′C′D′=ˆABD+ˆACD=1800A′B′D′^+A′C′D′^=ABD^+ACD^=1800

(do ABCDABCD là tứ giác nội tiếp)

⇒A′B′C′D′⇒A′B′C′D′ là tứ giác nội tiếp

Hay A′,B′,C′,D′A′,B′,C′,D′ cùng thuộc một đường tròn