Giả sử x ≤ y

Ta có: y2 ≤y2 +8x ≤y2 +8y ≤y2 +8y+16=(y+4)2

⇒y2 +8x= (y+1)2

                      (y+2)2
                       (y+3)2

Xét TH1 :y2+8x=(y+1)2

⇒y2 +8x=y2 +2y+1

⇒8x−2y=1 ⇒4x−y= 1212 

Loại vì x,y ∈ N⋅x,y ∈ N⋅

Xét TH2:y2 +8x=(y+2)2=> y^2 + 8x = y^2 + 4x + 4`

⇒8x−4y=4⇒8x-4y=4

⇒2x−y=1⇒2x-y=1 mà x;y ∈ N⋅x;y ∈ N⋅ nên ta có các trường hợp sau:

Nếu x=1⇒y=1⇒x2 +8y=9x=1⇒y=1⇒x2 +8y=9 (TM);y2 +8x=9(TM)(TM);y2 +8x=9(TM)

Nếu x=2⇒y=3⇒x2 +8y=28x=2⇒y=3⇒x2 +8y=28 (Loại)

Nếu x ≥ 3⇒2x ≥ 6⇒y ≤ 5⇒x ≥ 3⇒2x ≥ 6⇒y ≤ 5⇒ Loại vì x≤yx≤y

Xét TH3 :y2 +8x=(y+3)2TH3 :y2 +8x=(y+3)2

⇒y2 +8x=y2 +6y+9⇒y2 +8x=y2 +6y+9

⇒8x−6y=9⇒8x-6y=9

⇒⇒ 4x - 3y = 4,5 => Loại vì x,y ∈ N*4x - 3y = 4,5 => Loại vì x,y ∈ N*

Vậy (x,y)={1;1}(x,y)={1;1}