Ta biện luận theo z nguyên dương
**************************
* Nếu z>=3
***************************
=> x+y+1=>3xy
=> x+y+1 -3xy>=0
=> x(1-y) +(y(1-x)+(1-xy)>=0 (*)
Do x, y nguyên dương => x,y>=1
=> 1-y<=0, 1-x<=0 và 1-xy<=0
=> x(1-y) +(y(1-x)+(1-xy)<=0 (**)

Từ (*) và (**)=>
=> Tổng bằng 0 khi:
{x(1-y)=0
{y(1-x)=0
{(1-xy)=0
=> x=1, y=1
Vậy nghiệm là (1;1;3)

**************************
** Nếu z=2
************************
=> x+y+1=2xy
=> x(y-1) + y(x-1)=1
Tổng 2 số nguyên không âm bằng 1 chỉ là một trong 2 cặp 0,1 hoặc 1,0
=>
{(x(y-1)=0
{ y(x-1)=1 => x=2, y=1
hoặc
{(x(y-1)=1
{ y(x-1)=0 => x=1, y=2

Vậy có 2 cặp nghiệm là (2;1;2) và (1;2;2)
*************************
*Nếu z=1
**************************
=> x+y+1=xy
=> (x-1)(y-1)=2
=>
{x-1=1
{y-1=2 => x=2, y=3

Hoặc

{x-1=2
{y-1=1 => x=3, y=2

Vậy có 2 cặp nghiệm (2,3,1) và (3;2;1)

Tóm lại: Nghiệm của pt là (1;1;3); (2,1,2); (1;2;2); (2;3;1); (3;2;1)