Giả sử đa thức f(x)−2022f(x)−2022 có nghiệm nguyên x=ax=a

⇒f(x)−2022=(x−a).g(x)⇒f(x)−2022=(x−a).g(x) với g(x)g(x) là đa thức nhận giá trị nguyên khi x nguyên

⇒f(x)=(x−a).g(x)+2022⇒f(x)=(x−a).g(x)+2022 (1)

Lại có với a nguyên thì (2020−a)−(2019−a)=1(2020−a)−(2019−a)=1 lẻ nên 2020-a và 2019-a luôn khác tính chẵn lẻ

⇒(2019−a)(2020−a)⇒(2019−a)(2020−a) luôn chẵn

Lần lượt thay x=2020x=2020 và x=2019x=2019 vào (1) ta được:

f(2019)=(2019−a).g(2019)+2022f(2019)=(2019−a).g(2019)+2022

f(2020)=(2020−a).g(2020)+2022f(2020)=(2020−a).g(2020)+2022

Nhân vế với vế:

f(2019).f(2020)=(2019−a)(2020−a).g(2019).g(2020)+2022[(2019−a)g(2019)+(2020−a).g(2020)+2022]f(2019).f(2020)=(2019−a)(2020−a).g(2019).g(2020)+2022[(2019−a)g(2019)+(2020−a).g(2020)+2022]

⇔2021=(2019−a)(2020−a).g(2019).g(2020)+2022[(2019−a)g(2019)+(2020−a).g(2020)+2022]⇔2021=(2019−a)(2020−a).g(2019).g(2020)+2022[(2019−a)g(2019)+(2020−a).g(2020)+2022]

Do (2019−a)(2020−a)g(2019).g(2020)(2019−a)(2020−a)g(2019).g(2020) chẵn ⇒⇒ vế phải chẵn

Mà vế trái lẻ ⇒⇒ vô lý

Vậy điều giả sử là sai hay đa thức đã cho không có nghiệm nguyên