Ta có tam giác OAM và tam giác BON cân tại O có góc ở đỉnh O=45độ

=> OA=OM=a;OB=ON=b và góc MOA=góc NOB=45 độ

=>Góc AOB=180-45-45=90 độ

ta có OM+ON=MN=4

=>a+b=4

=>b=4-a

Xét tam giác AOB vuông tại O có:

Áp dụng định lý Pytago:

AB2=AO2+BO2=a2+b2=a2+(4−a)2=a2+(16−8a+a2)=a2+a2−8a+16=2a2−8a+16=2(a2−4a+4)+8=2(a−2)2+8De:ABmin⇔AB2min⇔2(a−2)2+8minDo:2(a−2)2≥0=>2(a−2)2+8≥8∀aAB2=AO2+BO2=a2+b2=a2+(4−a)2=a2+(16−8a+a2)=a2+a2−8a+16=2a2−8a+16=2(a2−4a+4)+8=2(a−2)2+8De:ABmin⇔AB2min⇔2(a−2)2+8minDo:2(a−2)2≥0=>2(a−2)2+8≥8∀a

Dấu = xảy ra<=> a-2=0<=>a=2

Hay OM=2(cm)

=>ON=4-2=2(cm)

=>O là trung điểm của MN

Vậy để ABmin=8 thì O là trung điêm của MN