a,+) Lấy N sao cho : O là trung điểm của CN ; lấy M sao cho : OM là trung trực của BC

⟹⟹ OM là đường trung bình của tam giác CNB 

⟹⟹ OM song song với NB ; OM = 1212 NB 

Ta có : OM vuông góc với BC ⟹⟹ NB vuông góc với BC mà AH vuông góc với BC

⟹⟹ NB song song với AH ( 1 )

+) Lấy S sao cho : OS là trung trực của AC ; mà O là trung điểm của NC 

⟹⟹ OS là đường trung bình của tam giác NAC

⟹⟹ OS song song với AN ; OS = 1212 AN

Ta có : OS vuông góc với AC ⟹⟹ NA vuông góc với AC mà BH vuông góc với AC 

⟹⟹ NA song song với BH ( 2 )

Từ ( 1 ) ; ( 2 )

 ⟹⟹ NAHB là hình bình hành 

 ⟹⟹ NB = AH ( 3 )

Mà OM = 1212 NB ⟹⟹ 2OM = NB ( 4 )

Từ ( 3 ) ; ( 4 ) 

⟹⟹ AH = 2OM ( đpcm )

b, Ta có : A ; G ; M thẳng hàng ( M là trung điểm của BC ; G là trọng tâm )

 GM = 1313 AM ⟹⟹ AG = 2GM 

 Gọi I ; K lần lượt là trung điểm của HG ; AG 

⟹⟹ IK là đường trung bình của tam giác HGA 

⟹⟹ IK song song với AH ; IK = 1212 AH

+) NB song song OM , mà NB song song với AH 

⟹⟹ AH song song với OM 

+) AH song song với OM , mà IK song song với AH 

⟹⟹ IK song song với OM

⟹⟹ IKG = GMO ( 2 góc so le trong )

+) IK = 1212 AH , mà AH = 2OM

⟹⟹ IK = OM 

+) K là trung điểm của AG

⟹⟹ KA = KG = AG2AG2

Mà AG = 2GM ⟹⟹ KA = KG = GM ⟹⟹ KG = GM

+)Xét tam giác KIG và tam giác MOG có :

 KG = GM 

 IKG = GMO ( cmt )

 OM = KI 

⟹⟹ tam giác KIG = tam giác MOG ( c - g - c )

⟹⟹ IGK = OGM ( 2 góc tương ứng )

Mà 2 góc này ở vị trí 2 góc đối đỉnh 

⟹⟹ I , G , O thẳng hàng

⟹⟹ H , G , O thẳng hàng 

+) I là trung điểm của HG 

⟹⟹ IH = IG = HG2HG2

⟹⟹ 2IH = 2IG = HG ( 5 )

+) IG = GO ( tam giác KIG = tam giác MOG )

​​​⟹⟹​ 2IG = 2GO ( 6 )

Từ ( 5 ) ; ( 6 ) 

⟹⟹ HG = 2GO