_Vì n và 10 là hai số nguyên tố cùng nhau nên suy ra n không chia hết cho 2 và 5 suy ra n là số lẻ.

n^4 -1 = (n-1)(n+1)(n^2+1)       vì n là số nguyên dương lẻ nên đặt n = 2k+1 (k là số tự nhiên)

suy ra : n^4 -1=(n-1)(n+1)(n^2 +1) = 2k(2k+2)(4k^2 +4k +2)= 2k.2.(k+1).2.(2k^2+2k+1)  =  8k(k+1)(2k^2+2k+1) chia hết cho 8       (*)

_đặt n=5m +1 (m là số tự nhiên lẻ) suy ra n^4 -1 = (n+1)(n-1)(n^2+1) = 5m.(5m+6).(25m^2 +10m+2) chia hế cho 5  (**)

từ (*) và (**) suy ra n^4 - 1 chia hết cho 40

nn và 10 nguyên tố cùng nhau ⇒n⇒n lẻ

⇒n+1;n−1;n2+1⇒n+1;n−1;n2+1 đều chẵn

⇒n4−1=(n−1)(n+1)(n2+1)⋮8⇒n4−1=(n−1)(n+1)(n2+1)⋮8

Mặt khác do nn và 10 nguyên tố cùng nhau ⇒n⇒n ko chia hết cho 5

- Nếu n=5k+1⇒n−1=5k⋮5⇒n4−1⋮5⇒n4−1⋮40n=5k+1⇒n−1=5k⋮5⇒n4−1⋮5⇒n4−1⋮40

- Nếu n=5k+2⇒n2+1=5(5k2+2k+1)⋮5⇒n4−1⋮40n=5k+2⇒n2+1=5(5k2+2k+1)⋮5⇒n4−1⋮40

- Nếu n=5k+3⇒n2+1=5(5k2+2k+2)⋮5⇒n4−1⋮40n=5k+3⇒n2+1=5(5k2+2k+2)⋮5⇒n4−1⋮40

- Nếu n=5k+4⇒n+1=5(k+1)⋮5⇒n4−1⋮40n=5k+4⇒n+1=5(k+1)⋮5⇒n4−1⋮40

Vậy n4−1⋮40