a) Gọi E là giao điểm của đường trung trực d của CD và CD.

Gọi F là giao điểm của đường trung trực d của CD và AB.

Ta có : OE là đường trung trực của CD ( gt )

=> E∈CD ( gt )

=>OE cách đều hai đầu đoạn thẳng CD hay OD = OC ( tính chất đường trung trực của đoạn thẳng )

Xét △DOC có OD = OC ( cmt )

=> △DOC cân tại O

=> OD cũng là tia phần giác của DOCˆ ( tính chất tam giác cân )
DOEˆ=COEˆ

Mà DOEˆ=BOFˆ ( đối đỉnh ) và COEˆ=AOFˆ ( đối đỉnh )

=> BOFˆ=AOFˆhay OF là tia phân giác của AOBˆ

Xét △AOB có OA = OB ( gt )

=> △AOB cân tại O

Mà OF là tia phân giác của AOBˆ ( cmt )

=> OF cũng là đường trung trực xuất phát từ AOBˆ của △AOB

=> OF⊥AB và AF = BF

=> A đối xứng B qua OF hay A đối xứng B qua d

b) Xét △AOB(AO=OB)△AOB(AO=OB) có :

OABˆ=OBAˆ⟹OABˆ+OBAˆ=2.OABˆOAB^=OBA^⟹OAB^+OBA^=2.OAB^

OABˆ+OBAˆ+AOBˆ=180oOAB^+OBA^+AOB^=180o ( tổng 3 góc trong tam giác )

⟹2.OABˆ+AOBˆ=180o(1)⟹2.OAB^+AOB^=180o(1)

Xét △DOC(OD=OC)△DOC(OD=OC) có :

OCDˆ=ODCˆ⟹OCDˆ+ODCˆ=2.OCDˆOCD^=ODC^⟹OCD^+ODC^=2.OCD^

OCDˆ+ODCˆ+DOCˆ=180oOCD^+ODC^+DOC^=180o ( tổng 3 góc trong tam giác )

⟹2.OCDˆ+DOCˆ=180o(2)⟹2.OCD^+DOC^=180o(2)

Ta có :

AOBˆ=DOCˆ(đốiđỉnh)(3)AOB^=DOC^(đốiđỉnh)(3)

Từ (1), (2), (3) ⟹2.OABˆ=2.OCDˆ⟹2.OAB^=2.OCD^ hay OABˆ=OCDˆOAB^=OCD^

mà chúng ở vị trí so le trong AB // CD

Xét tứ giác ABCD có AB // ( cmt )

Tứ giác ABCD là hình thang ( tứ giác có hai cạnh đối song song là hình thang ) (4)

AC = OA + OC ( gt)
BD = OB + OD ( gt )

mà OA = OB ( gt ) và OD = OC ( △DOC△DOC cân tại O )

 AC = BD (5)

Từ (4) và (5) Tứ giác ABCD là hình thang cân ( Hình thang có hai đường chéo bằng nhau là hình thang cân )