) Xét tứ giác AEHF có: ˆAEH=ˆAFH=900⇒ˆAEH+ˆAFH=1800AEH^=AFH^=900⇒AEH^+AFH^=1800

Vậy tứ giác AEHF nội tiếp (Tứ giác có tổng hai góc đối bằng 18001800)

2) Xét tứ giác AEDB có ˆAEB=ˆADB=900AEB^=ADB^=900 nên tứ giác AEDB nội tiếp đường tròn đường kính AB

⇒ˆCAB=ˆCDE⇒CAB^=CDE^ (cùng bù với ˆBDEBDE^)

Xét tam giác CAB và CDE có ˆACBACB^ chung, ˆCAB=ˆCDECAB^=CDE^

⇒ΔCAB∼ΔCDE(g.g)⇐CACD=CBCE⇒CE.CA=CD.CB⇒ΔCAB∼ΔCDE(g.g)⇐CACD=CBCE⇒CE.CA=CD.CB

3) Xét tứ giác BFEC có ˆBFC=ˆBEC=900BFC^=BEC^=900 nên tứ giác BFEC nội tiếp đường tròn đường kính BC

Suy ra đường tròn ngoại tiếp tam giác BEF là đường tròn đương kính BC

Xét tam giác vuông AEH có EM là trung tuyến ứng với cạnh huyền nên EM=12AH=MHEM=12AH=MH ⇒ ΔMEHΔMEH cân tại M ⇒ˆMEH=ˆMHE⇒MEH^=MHE^ (2 góc ở đáy)

Xét tứ giác CEHD có ˆCEH=ˆCDH=900⇒ˆCEH+ˆCDH=1800CEH^=CDH^=900⇒CEH^+CDH^=1800 ⇒ tứ giác CEHD là tứ giác nội tiếp

⇒ˆECD=ˆBHD⇒ECD^=BHD^ (cùng bù với ˆEHDEHD^). Mà ˆBHD=ˆMHEBHD^=MHE^(đối đỉnh)

⇒ˆMEH=ˆECD⇒MEH^=ECD^

Mà ˆECDECD^ là góc nội tiếp chắn cung BE, ˆMEHMEH^ là góc tạo bởi dây cung BE và đoạn ME nên ME là tiếp tuyến của đường tròn ngoại tiếp tam giác BEF

4) I là tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác BDF nên I là giao điểm của trung trực của BD và BF

Trung trực của BD là đường trung bình của tam giác BDH ứng với cạnh DH

⇒ Trung trục của BD đi qua trung điểm của BH

Tương tự trung trực của BF đi qua trung điểm của BH

Suy ra giao điểm của trung trực của BD và BF là trung điểm của BH nên I là trung điểm của BH

Tương tự ta chứng minh được J là trung điểm của CH

⇒ IJ là đường trung bình của ΔHBCΔHBC

⇒ IJ // BC

⇒ˆDIJ=ˆIDBDIJ^=IDB^ (so le trong)

Xét tam giác vuông BDH có DI là trung tuyến ứng với cạnh huyền nên DI=12BH=BIDI=12BH=BI ⇒ΔBDI⇒ΔBDIcân tại I

ˆIBD=ˆIDBIBD^=IDB^ (2 góc ở đáy)

Mà ˆIBD=ˆDFCIBD^=DFC^( 2 góc nội tiếp cùng chắn cung DH)

⇒ˆDIJ=ˆDFC⇒DIJ^=DFC^ (đpcm).