a)Ta có E là trung điểm của CM (gt)

F là trung điểm của CB (gt)

=> EF là đường trung bình của Δ BMC (định nghĩa đường trung bình của tam

giác)

=> EF//MB (tính chất đường trung bình của tam giác)

hay EF//AB

lại có K là trung điểm của AD (gt)

F là trung điểm của CB (gt)

trên đoạn thẳng AB lấy M( MA>MB ) trên cừng một nữa mặt phẳng bờ AB vẽ các

tam giác đều AMC; BMD. gọi E,F,I,K theo thứ tự là trung điểm của CM,CB,DM,DA.

=> KF là đường trung bình của Δ KMd (...)

=>KF//AM (t/c ...)

hay KF//AB

nên EF//KF (vì cùng // với AB)

=> tứ giác EFFIK là hình thang (Định nghĩa hình thang)

Gọi N là trung điểm của AM, nối KM

Ta có N là trung điểm của AM (cách dựng)

K là trung điểm của AD (gt)

=> NK là đường trung bình của Δ aMd

nên NK//DM (t/c....)

mà EN là đường trung bình của Δ aMC(E,I là trung điểm của MC,AM)

=> EI//AC (t/c...)

lại có Δ BMCvà Δ aMC là những tam giác đều (gt)

=>goc CaM=goc dMB=60*

=> AC//DM

tức là NK//EN (cùng //AC//DM)

do đó 3 điểm E,K,N thẳng hàng (theo tiên đề Ơ-clit)

=> goc CaM= goc EKN (2góc đồng vị của AC//EN)

goc EKN=goc EKI (2 góc đồng vị của KF//AM)

nên goc EKI=60*

C/m tương tự, lấy P là trung điểm của BM ta cũng được goc fIK=60*

Hình thang EFIK có goc EKI=goc fIK

Vậy EFIK là hình thang cân (dấu hiệu nhận biết)

b) Ta có EFIK là hình thang cân (kq câu a)

=> EI=KF (tính chất 2 đường chéo trong hình thang cân)

E là trung điểm của CM, I là trung điểm của DM (gt)

=> EI là đường trung bình của tam giác CMD

=> EI= 1/2CD

Vậy KF= 1/2CD