a) Áp dụng hệ thức lượng trong tam giác vuông vào ΔABC vuông tại A có AH là đường cao ứng với cạnh huyền BC, ta được:

AH2=BH⋅CHAH2=BH⋅CH

⇔AH2=2⋅8=16⇔AH2=2⋅8=16

hay AH=4cm

Áp dụng định lí Pytago vào ΔABH vuông tại H, ta được:

AB2=AH2+HB2AB2=AH2+HB2

⇔AB2=42+22=20⇔AB2=42+22=20

hay AB=2√5cmAB=25cm

Áp dụng định lí Pytago vào ΔACH vuông tại H, ta được:

AC2=AH2+HC2AC2=AH2+HC2

⇔AC2=42+82=80⇔AC2=42+82=80

hay AC=4√5cmAC=45cm

Vậy: AH=4cm; AB=2√5cmAB=25cm; AC=4√5cmAC=45cm

b) Áp dụng hệ thức lượng trong tam giác vuông vào ΔAHC vuông tại H có HE là đường cao ứng với cạnh huyền AC, ta được:

HE⋅AC=AH⋅HCHE⋅AC=AH⋅HC

⇔HE⋅4√5=4⋅8=32⇔HE⋅45=4⋅8=32

hay HE=8√55cmHE=855cm

Áp dụng hệ thức lượng trong tam giác vuông vào ΔABH vuông tại H có HD là đường cao ứng với cạnh huyền AB, ta được:

AH⋅BH=HD⋅ABAH⋅BH=HD⋅AB

⇔HD⋅2√5=2⋅4=8⇔HD⋅25=2⋅4=8

hay HD=4√55cmHD=455cm

Ta có: HE:HD=8√55:4√55HE:HD=855:455

=8√55⋅54√5=2=855⋅545=2

hay HE=2⋅HDHE=2⋅HD(đpcm)