a) +) Chứng minh ΔΔDAC = ΔΔBAE 

Thật vậy: Ta có: AD = AB ( ΔΔDAB đều ) 

                         ^DAB = ^CAE ( = 60oo; ΔΔDAB đều ; ΔΔCAE đều ) => ^DAC = ^BAE 

                           CA = AE ( ΔΔCAE đều )

Từ 3 điều trên => ΔΔDAC = ΔΔBAE ( c.g.c) (1)

=>  ^ABE = ^ADC (2)

+) Xét ΔΔKAD và ΔΔKIB có: ^DKA = ^BKI ( đối đỉnh )

                                                  ^KDA = ^KBI( theo  ( 2)  )

                    mà ^DKA + ^KDA + ^KAD= ^BKI + ^KBI + ^KIB = 180oo

=>  ^KIB = ^KAD = ^BAD=  60oo

=> ^DIB = 60oo

b) Từ (1) => DC = BE mà M là trung điểm DC; N là trung điểm BE 

=> DM  = BN (3) 

+) Xét ΔΔBAN và ΔΔDAM 

có: BN = DM ( theo (3)

     ^ABN = ^ADM ( theo (2)

     AB = AD ( ΔΔADB đều )

=> ΔΔBAN = ΔΔDAM  (4) 

=> AN = AM  => ΔΔAMN cân tại A  (5)

+) Từ (4) => ^BAN = ^DAM => ^BAM + ^MAN = ^DAB + ^BAM  

=> ^MAN = ^DAB = 60oo(6)

Từ (5); (6) => ΔΔAMN đều 

c) +) Trên tia đối tia MI lấy điểm F sao cho FI = IB => ΔΔFIB cân tại I 

mà ^BIF = ^BID = 60o​​o( theo (a))

=> ΔΔFIB đều  (7)

=> ^DBA = ^FBI( =60oo)

=> ^DBF + ^FBA = ^FBA + ^ABI 

=> ^DBF = ^ABI  

Lại có: BI = BF ( theo (7) ) và BA = BD ( ΔΔBAD đều )

Từ (3) điều trên => ΔΔDFB = ΔΔAIB  => ^AIB = ^DFB = 180o​​o- ^BFI = 180o​​o-60o​​o=120o​​o

+) Mặt khác ^BID = 60 o​​o( theo (a) ) 

=> ^DIE = 180o​​o- ^BID = 120 o​​ovà ^DIA = ^AIB - ^BID = 120o​​o-60o​​o=60o​​o

=> ^AIE = ^DIE - ^DIA = 120o​​o-60o​​o=60o​​o

=> ^DIA = ^AIE ( = 60o​​o) 

=> IA là phân giác ^DIE.