Ta có: AB = BC = CD = DA (gt)

AM = BN = CP = DQ (gt)

Suy ra: PD = QA = MB = NC

* Xét ΔCPN và ΔDQP,ta có:

CP = DQ (gt)

góc (PCN) = góc (PDQ) = 90°

NC = DP (chứng minh trên)

Suy ra: △CPN = △DQP (c.g.c) ⇒ PN = PQ (1)

* Xét △DQPvà △AMQ,ta có: DQ=AM (gt)

             góc(QDP) = ∠(MAQ) = 90°
            PD = QA ( chứng minh trên)

Suy ra: △DQP = △AMQ (c.g.c) ⇒ PQ = QM (2)

* Xét △AMQ và △BNM,ta có: AM=BN (gt)

            góc A = góc B = 90 độ

             BM = AQ ( chứng minh trên)

Suy ra: △AMQ = △BNM (c.g.c) ⇒ QM = MN (3)

Từ (1), (2) và (3) suy ra: QP =PN = NM = MQ 

Hay tứ giác MNPQ là hình thoi.

Mặt khác: △CPN = △PDQ

⇒ ∠(CNP) = ∠(DPQ)

Mà ∠(CNP) + ∠(CPN) = 90 độ

⇒ ∠(DPQ) + ∠(CPN) = 90 độ

Ta có: ∠(DPQ) + ∠(QPN) + ∠(NPC ) = 180 độ

Suy ra: ∠(QPN ) = 180° -( ∠(DPQ ) + ∠(NPC) )= 180° - 90° = 90°

Vậy tứ giác MNPQ là hình vuông.