Gọi K là giao điểm của AD và BC

Vì:

M, N là trung điểm của AB và BD ⇒ MN là đường trung bình của tam giác ABD 

P, Q là trung điểm của DC và AC ⇒ PQ là đường trung bình của tam giác ACD

Từ (1) và (2) suy ra tứ giác MNPQ là hình bình hành.

M, Q là trung điểm của AB và AC ⇒ MQ là đường trung bình của tam giác BAC

 ⇒ MQ // BC                                        (3)

Ta có: AD ⊥ BC nên từ (1) và (3) suy ra MN ⊥ MQ  

Do đó, tứ giác MNPQ là hình chữ nhật.

Gọi I là giao điểm của hai đường chéo MP và NQ.

Ta có: IM = IN = IP = IQ (tính chất giao điểm của hai đường chéo của hình chữ nhật)

 ⇒ 4 điểm M, N, P , Q cách đều điểm I nên bốn điểm này cùng thuộc đường tròn

(I; IM).