a) Tam giác ABC cân=> AB=AC

Mà K, I là trung điểm của AB và AC=> AK=AI

KM là đường trung bình trong tam giác ABC=> KM=AC/2

IM là đường trung bình trong tam giác ABC=> IM=AB/2

=>AK=AI=KM=IM

=> Tứ giác AKMI là hình thoi

b) Xét tứ  giác AMCN có:

I là trung điểm của AC

I là trung điểm của MN

=> Tứ giác AMCN là hbh

Mặt khác góc AMC=90

=> Tứ giác AMCN là hình chữ nhật

có:

KI//MC và KI=MC=> Tứ giác KICM là hbh

c)

gọi F là giao điểm của EI với NC

Xét tam giác NMC có: IF//MC

                                   I là trung điểm của MN

=> F là trung điểm của NC

Xét tam giác NBC có: F là trung điểm của NC

                                 EF//BC

=> E là trung điểm của BN

d) Tứ giác AMNC là hình vuông
<=> AM=MC
<=> Tam giác AMC vuông cân ở M
<=> Góc MCA=45
<=> BAC=90<=> Tam giác ABC vuông cân tại A