Hình bạn tự vẽ nhá:)!
a, Ta có: MN ⊥ AC; AB ⊥ AC (góc BAC = 90°) => MN // AB => tứ giác ABMN là hình thang mà BAC = 90°, MNA = 90° => tứ giác ABMN là hình thang cân
b, Xét ΔABC có : BM = MC (gt); MN // AB (câu a) => AN = NC
Xét tứ giác AECM có: 
AC ∩ ME = {N}
MN = NE (gt)
AN = NC (cmt)
ME ⊥ AC 
Do đó: tứ giác AECM là hình thoi
c, Áp dụng định lí Pytago vào ΔABC vuông tại A:
AB^2 + AC^2 = BC^2
5^2 + 12^2 = BC^2
25 + 144 = BC^2
=> BC^2 = 169
=> BC = 13 (cm)
Mà M là trung điểm của BC (AM là đường trung tuyến của ΔABC) => BM = MC = BC/2 = 13/2 = 6,5 (cm)
Vì AECM là hình thoi (câu b) => AM=MC=CE=EA 
Chu vi hình tứ giác AECM là: AM+MC+CE+EA = 4AM = 4 . 6,5 = 26 (cm)
d, Vì AECM là hình thoi (câu b) => Để hình thoi AECM là hình vuông thì AMC = 90° hay AM ⊥ MC 
Mà M là đường trung tuyến của ΔABC => AM vừa là đường cao vừa là đường trung tuyến của ΔABC
Vậy khi  ΔABC vuông cân tại A thì hình thoi AECM là hình vuông