Ta có: ABCDABCD là hình chữ nhật (gt)(gt)

⇒AB=CD=4cm;BC=AD=3cm⇒AB=CD=4cm;BC=AD=3cm

và OA=OB=OC=ODOA=OB=OC=OD

Áp dụng định lý Pytago, ta được:

BD2=AB2+AD2=42+32=25BD2=AB2+AD2=42+32=25

⇒BD=5cm⇒BD=5cm

⇒AO=12AC=12BD=52cm⇒AO=12AC=12BD=52cm

b) Xét ΔAHDΔAHD có:

AM=MH(gt)AM=MH(gt)

DN=NH(gt)DN=NH(gt)

⇒MN⇒MN là đường trung bình

⇒MN//AD;MN=12AD⇒MN//AD;MN=12AD

Ta lại có: BI=12BC=12ADBI=12BC=12AD

⇒MN=BI⇒MN=BI

c) Ta có:

MN//ADMN//AD (chứng minh ở câu b)

AD//BCAD//BC

⇒MN//BC⇒MN//BC

hay MN//BIMN//BI

mà MN=BIMN=BI (câu b)

nên BMNIBMNI là hình bình hành

⇒BM//IN⇒BM//IN

d) Do MN//ADMN//AD

nên áp dụng định lý Thales, ta được:

HMHA=HNHDHMHA=HNHD

Áp dụng tính chất dãy tỉ số bằng nhau ta được:

HMHA=HNHD=HMHA−HM=HNHN−HD=HMMA=HNNDHMHA=HNHD=HMHA−HM=HNHN−HD=HMMA=HNND

⇒NDMA=HNHM=HDHA⇒NDMA=HNHM=HDHA (1)(1)

Mặt khác: ΔHADΔHAD và ΔHBAΔHBA có:

ˆDHA=ˆBHA=90oDHA^=BHA^=90o

ˆHAD=ˆHBAHAD^=HBA^ (cùng phụ ˆHABHAB^)

Do đó ΔHAD∼ΔHBA(g.g)ΔHAD∼ΔHBA(g.g)

⇒HDHA=ADAB⇒HDHA=ADAB (2)(2)

(1)(2)⇒HNHM=ADAB(1)(2)⇒HNHM=ADAB

Xét ΔNDAΔNDA và ΔNABΔNAB có:

ˆNDA=ˆMABNDA^=MAB^ (cùng phụ ˆHADHAD^)

HNHM=ADAB(cmt)HNHM=ADAB(cmt)

Do đó ΔNDA∼ΔNAB(g.g)ΔNDA∼ΔNAB(g.g)

⇒ˆMBA=ˆNAD⇒MBA^=NAD^

mà ˆNAD=ˆANMNAD^=ANM^ (so le trong)

nên ˆMBA=ˆANMMBA^=ANM^

Ta có:

ˆANI=ˆANM+ˆMNIANI^=ANM^+MNI^

mà {ˆANM=ˆMBA(cmt)ˆMNI=ˆMBI(BMNI là hình bình hành){ANM^=MBA^(cmt)MNI^=MBI^(BMNI là hình bình hành)

nên ˆANI=ˆMBA+ˆMBI=ˆABI=90oANI^=MBA^+MBI^=ABI^=90o

Vậy ˆANIANI^ là góc vuông