Từ điểm B , kể thêm đoạn thẳng vuông góc với MN, AC tại H và K .

a. +, Xét ΔABC có :

M là trung điểm của AB ( MA = MB )

N là trung điểm của BC ( BN = CN )

=> MN là đường trung bình của ΔABC

=> MN = 1 / 2 AC , MN // AC ( TC của đường trung bình )

+, Xét ΔBMN và ΔBAC có :

MN // BC ( CMT )

=> ΔBMN ~ ΔBAC

=>MN/AC =MB/AB =NB/ BC ( TC Δ DD)

Mà MN / AC = 1 / 2 , tỉ lệ đồng dạng bằng tỉ lệ đường cao của 2 tam giác .

=> MN / AC = BH / BK = 1 / 2

Ta có : SMBN = 1 / 2 . BH . MN

SABC = 1 / 2 . BK . AC

=> SMBN / SABC = 1/2.BH.MN/1/2.BK.AC

=> SMBN / SABC = BH . MN / BK . AC

Mà BK = 2BH , AC = 2MN

=> SMBN / SABC = BH . MN / 2BH . 2 MN

=> SMBN /SABC=1.(BH .MN)/4.(BH .MN)

=> SMBN / SABC = 1 / 4

hay SBMN = 1/4 . SABC .