a)  Tứ giác BMNCBMNC có: MN//BC,CN//BMMN//BC,CN//BM nên  BMNCBMNC là hình bình hành. (dhnb)

b)  Vì BMNCBMNC là hình bình hành (cmt) nên MN=BC.MN=BC.

Lại có BC=12AB⇒MN=12ABBC=12AB⇒MN=12AB.

Tam giác ΔABNΔABN  có đường trung tuyến NMNM  bằng nửa cạnh đối ABAB  nên tam giác ABNABN  vuông tại N,N,  hay ANAN  vuông góc với BN.BN. (đpcm).

c)  Tứ giác AMCNAMCN  có CN//AM,CN=AM(=BM)CN//AM,CN=AM(=BM)

⇒AMCN⇒AMCN là hình bình hành (dhnb)⇒DC=DA,CM//NA.⇒DC=DA,CM//NA.(tính chất)

Xét ΔABCΔABC ta có:

MM là trung điểm của ABAB

MD//BC(Mx//CD)MD//BC(Mx//CD)

⇒D⇒D là trung điểm của ACAC (định lý đảo).

⇒AD=DC.⇒AD=DC.

Xét ΔADFΔADF và ΔCDEΔCDE có:

DA=DC(cmt)DA=DC(cmt)

∠ADF=∠CDE∠ADF=∠CDE (hai góc đối đỉnh)

∠DAF=∠DCE∠DAF=∠DCE (hai góc so le trong)

⇒ΔADF=ΔCDE(g−c−g)⇒DE=DF(dpcm).⇒ΔADF=ΔCDE(g−c−g)⇒DE=DF(dpcm).

d)  Ta có: ΔADF=ΔCDE(cmt)⇒AF=EC.ΔADF=ΔCDE(cmt)⇒AF=EC.

Mà CM=ANCM=AN (AMCNAMCN là hình bình hành) và CE=12CM⇒AF=12ANCE=12CM⇒AF=12AN

Vậy FF   là trung điểm AN.AN.  

Xét tam giác ABNABN  có GG  là giao của hai đường trung tuyến AEAE  và NMNM  nên GG  là trọng tâm tam giác ABNABN

⇒BG⇒BG đi qua trung điểm FF  của  AN⇒B,G,FAN⇒B,G,F thẳng hàng.