a) Chứng minh AEBM là hình thoi.

Xét tam giác ABC ta có:

D và M lần lượt là trung điểm của AB và BC

=> DM là đường trung bình của tam giác ABC.

=> DM // DC và DM = 1/2 AC (tính chất đường trung bình).

Mà AC vuông góc AB (gt)

=> DM vuông góc với AB (từ song song đến vuông góc).

Ta có E là điểm đối xứng M qua D

=> D là trung điểm của EM. (tính chất)

Xét tứ giác AEBM ta có:

AB và EM cắt nhau tại trung điểm của mỗi đường (gt và cmt)

AB vuông góc EM (cmt)

=> AEDM là hình thoi. (dhnb)

b) Chứng minh E, I, C thẳng hàng.

Ta có: D là trung điểm của EM (cmt)

=> EM = 2DM = AC.

Lại có DM // AC => EM // AC

=> AEMC là hình bình hành (dhnb).

=> EC và AM cắt nhau tại trung điểm của mỗi đường.

Lại có I là trung điểm của AM

=> I là trung điểm của EC

Hay I, E, C thẳng hàng. (đpcm).

c) Điều kiện của tam giác ABC để AEBM là hình vuông?

Hình thoi AEBM là hình vuông  <=> AB = EM

Mà EM = AC (cm b))

=> AB = AC

=> Tam giác ABC vuông  cân tại A.