Cho đoạn thẳng AB và điểm M thay đổi trên AB (M không trùng với A và B). Vẽ các hình vuông AMCD và BMEF thuộc cùng một nữa mặt phẳng bờ là AB

Để giải bài toán này, ta sẽ phân tích từng phần:

### a) Chứng minh rằng \( CM:AE = BC \) và \( AE \) vuông góc \( BC \)

1. **Thiết lập hệ tọa độ:** Giả sử \( A(0, 0) \) và \( B(a, 0) \), điểm \( M \) sẽ có tọa độ \( (m, 0) \) với \( 0 < m < a \).
2. **Tọa độ các điểm:**
- Hình vuông \( AMCD \) có \( C(m, m) \) và \( D(0, m) \).
- Hình vuông \( BMEF \) có \( E(m, -m) \) và \( F(a, -m) \).
3. **Tính độ dài:**
- Độ dài \( CM = m \) (từ \( C(m, m) \) đến \( M(m, 0) \)).
- Độ dài \( AE = m \) (từ \( A(0, 0) \) đến \( E(m, -m) \)).
- Độ dài \( BC = a - m \).
4. **Chứng minh tỉ số:** Ta có \( CM:AE = m:m = 1:1 \) trong khi \( BC = a - m \).

Vì \( AE \) vuông góc với \( BC \) (do \( AE \) đi lên trên mặt phẳng còn \( BC \) nằm ngang), ta có:
- \( CM \parallel AE \) và \( CM \perp BC \).

### b) Tứ giác \( GINK \) là hình gì?

1. **Tọa độ trung điểm:**
- \( G = \left( \frac{a}{2}, 0 \right) \) là trung điểm AB.
- \( I \) là trung điểm \( AC \), nên tọa độ \( I\) là \( \left( \frac{m}{2}, \frac{m}{2} \right) \).
- \( N \) là trung điểm của \( CE \), nên tọa độ \( N \) là \( \left( m, 0 \right) \).
- \( K \) là trung điểm của \( EB \), nên tọa độ \( K\) là \( \left( m, -\frac{m}{2} \right) \).

2. **Xét tính chất tứ giác:**
- Tứ giác \( GINK \) là một hình thang (hay hình bình hành) vì \( G\) và \( K\) nằm trên trục hoành (y=0) và \( I \) với \( N \) tạo thành hai cặp cạnh song song.

### c) Chứng minh rằng \( CM \) và \( DF \) luôn đi qua một điểm cố định khi \( M \) di chuyển trên \( AB \)

- Xét hai đoạn \( CM \) và \( DF \):
- Đặc điểm nghiệm:
- Khi \( M \) di chuyển dọc theo \( AB \), \( C\) và \( D\) sẽ thay đổi tọa độ, nhưng:
- Đường thẳng \( CM\) sẽ luôn đi qua điểm \( ( \frac{m}{2}, \frac{m}{2} )\) và \( DF \) sẽ luôn tương ứng.

Ta có thể thấy rằng với các yếu tố của hình vuông và tính đối xứng, khi đi qua một hệ tọa độ cố định của \( C\) và \( D\), điểm giao của chúng không thay đổi.

### d) Chứng minh rằng trung điểm \( Q \) của \( IK \) luôn nằm trên một đường cố định khi \( M \) di chuyển trên \( AB \)

1. **Tọa độ \( Q \):**
- Tọa độ điểm \( Q \) là trung điểm của \( I \) và \( K \).
- Tọa độ \( Q \) được tính theo \( Q = \left( \frac{\frac{m}{2} + m}{2}, \frac{\frac{m}{2} - \frac{m}{2}}{2} \right) = \left( \frac{3m}{4}, 0 \right) \).

2. **Đường fixer:**
- Khi \( M\) di chuyển trên \( AB \), \( \frac{3m}{4} \) sẽ thay đổi nhưng tạo thành một đường thẳng cố định cho đường đi.

Kết luận, các hình vuông AMCD và BMEF với các điểm đã nêu chứng tỏ được các tính chất hình học của chúng và điểm cốt yếu là những điểm cố định khi điểm M thay đổi trên đoạn AB.