a) Trong đường tròn (O) ta có OI là tia phân giác

 của góc AID ( tính chất hai tiếp tuyến  cắt nhau)

Trong đường tròn (O’) ta có O’I là tia phân giác của góc AIE  (tính chất hai tiếp tuyến cắt nhau)

-> IO ⊥ IO’ ( tính chất kề bù)

Suy ra: ˆOIO′=90∘  hay ˆMIN=90∘ 

Lại có: IA = ID ((tính chất hai tiếp tuyến cắt nhau)

Suy ra tam giác ADI có IO là phân giác của góc AID nên IO cũng là đường cao của tam giác AID.

Suy ra: IO ⊥ AD hay ˆAMI=90∘ 

Mặt khác: IA = IE  (tính chất hai tiếp tuyến cắt nhau)

Suy ra tam giác AEI cân tại I.

Tam giác cân AIE có IO’ là phân giác của góc AIE nên IO  cũng là đường cao của tam giác AIE.

 Suy ra: IO’ ⊥ AE hay ˆANI=90∘ 

Tứ giác AMIN có ba góc vuông nên nó là hình chữ nhật.

b) Tam giác AIO vuông tại A có AM ⊥ IO.

Theo hệ thức lượng trong tam giác vuông, ta có: 

IA^2 = IM.IO               (1)

Tam giác AIO’ vuông tại A có AN ⊥ IO’.

Theo hệ thức lượng trong tam giác vuông, ta có:

IA^2 = IN.IO’                (2)

Từ (1) và (2) suy ra: IM.IO = IN.IO’

c) Ta có: IA = ID = IE ( chứng minh trên)

Suy ra A nằm trên đường tròn tâm I đường kính DE.

Vì OO’ ⊥ IA tại A nên OO’ là tiếp tuyến của đường tròn (I;DE/2) 

d) Tam giác O’IO vuông tại I có IA ⊥ OO’.

Theo hệ thức lượng trong tam giác vuông, ta có:

         IA2 = OA.O’A = 5.3,2 = 16

Suy ra: IA = 4 (cm). Mà DE = 2IA nên DE = 2.4 = 8 (cm).