Bài 15.   Đố. Vẽ hình chữ nhật ABCD có AB = 5cm, BC = 3cm.
a) Hãy vẽ một hình chữ nhật có diện tích nhỏ hơn nhưng có chu vi lớn hơn hình chữ nhật ABCD. Vẽ được mấy hình như vậy.
b) Hãy vẽ hình vuông có chu vi bằng chu vi hình chữ nhật ABCD. Vẽ được mấy hình vuông như vậy? So sánh diện tích hình chữ nhật với diện tích hình vuông có cùng chu vi vừa vẽ. Tại sao trong các hình chữ nhật có cùng chu vi thì hình vuông có diện tích lớn nhất.
Hướng dẫn giải:

a) Hình chữ nhật ABCD đã cho có diện tích là S_ACBD = 3.5 = 15 (cm²).
- Hình chữ nhật có kích thước 1cm x 12cm có diện tích là 12cm² và chu vi là ( 1+12).2 = 26(cm) (có 26>15).
- Hình chữ nhật có kích thước 2cmx7cm co diện tích là 14cm² và chu vi là (2+7).2 = 18(cm) (có 18 > 15).
Như vậy, vẽ được nhiều hình chữ nhật có diện tích bé hơn nhưng có chu vi lớn hơn hình chữ nhật  ABCD cho trước.

b) Chu vi hình chữ nhật ABCD đã cho là:
           (5+3).2 = 16 (cm)
Cạnh hình vuông có chu vi bằng chu vi hình chữ nhật ABCD là:
            16:4 = 4(cm).
Diện tích hình vuông này là 4.4 = 16 (m²) 
Vậy S_hcn < S_hv
Trong các hình chữ nhật có cùng chu vi thì hình vuông có diện tich lớn nhất.
Ta luôn có  ≥ √ab
Suy ra ab ≤ . 
Hình trên là hình vẽ chứng tỏ hình chữ nhật cạnh a,b (a>b) có diện tích nhỏ hơn diện tích hình vuông cạnh .
Trên hình a= 5cm, b = 3cm,  = 4cm
a -  = 1cm,  - b = 1cm
Do đó 
S_EBCG = b. ( a-  ) = 3.1 = 3 (cm²).
S_DGHI = . ( - b ) = 4.1 = 4 (cm²).
S_AEGD = b. = 3.4 = 12 (cm²).
Nên             S_ABCD = S_EBCG + S_AEGD = 3 + 12 = 15(cm²).
S_AEHI  = S_DGHI + S_AEGD = 4 + 12 = 16 (cm²).
 
 Vậy S_ABCD < S_AEHI
Tổng quát:
Hình chữ nhật EBCG có một cạnh bằng a - , cạnh kia bằng b.
Hình chữ nhật DGHI có một cạnh bằng  - b, cạnh kia bằng .
Mà  a -  bằng  - b và b <  ( theo giả thiết a> b)
nên S_EBCG < S_DGHI
Cộng thêm S_AEGD vào mỗi vế bất đẳng thức ta được
            S_EBCG + S_AEGD < S_DGHI + S_AEGD
Vậy S_ABCD < S_AEHI