Bài 33 trang 54 sgk Toán 9 tập 2

Bài 33. Chứng tỏ rằng nếu phương trình \(a{x^2} + bx + c = 0\) có nghiệm là \({x_1}\) và \({x_2}\) thì tam thức  \(a{x^2} + bx + c \) phân tích được thành nhân tử như sau:
\(a{x^2} + {\rm{ }}bx{\rm{ }} + {\rm{ }}c{\rm{ }} = {\rm{ }}a(x{\rm{ }}-{\rm{ }}{x_1})(x{\rm{ }}-{\rm{ }}{x_2})\).
Áp dụng. Phân tích đa thức thành nhân tử.
a)\(2{x^2}-{\rm{ }}5x{\rm{ }} + {\rm{ }}3\)
b) \({\rm{ }}3{x^2} + {\rm{ }}8x{\rm{ }} + {\rm{ }}2\)
Bài giải:
Biến đổi vế phải: \(a(x{\rm{ }}-{\rm{ }}{x_1})(x{\rm{ }}-{\rm{ }}{x_2}){\rm{ }} = {\rm{ }}a{x^2}-{\rm{ }}a({x_1} + {\rm{ }}{x_2})x{\rm{ }} + {\rm{ }}a{x_1}{x_2}\)
\( = a{x^2} - a\left( { - {b \over a}} \right)x + a{c \over a} = a{x^2} + bx + c\)
Vậy phương trình \(a{x^2} + bx + c = 0\) có nghiệm là \({x_1},{x_2}\) thì:
            \(a{x^2} + {\rm{ }}bx{\rm{ }} + {\rm{ }}c{\rm{ }} = {\rm{ }}a(x{\rm{ }}-{\rm{ }}{x_1})(x{\rm{ }}-{\rm{ }}{x_2})\).      
Áp dụng:
a) Phương trình \(2{x^2}-{\rm{ }}5x{\rm{ }} + {\rm{ }}3{\rm{ }} = {\rm{ }}0\) có \(a + b + c = 2 – 5 + 3 = 0\) nên có hai nghiệm là \({x_1} = 1,{x_2} = {\rm{ }}{3 \over 2}\) nên:
\(2{x^2}{\rm{  + }}5x + 3 = 2(x{\rm{ - }}1)(x - {\rm{ }}{3 \over 2}) = (x - 1)(2x - 3)\)
b) Phương trình  \({\rm{ }}3{x^2} + {\rm{ }}8x{\rm{ }} + {\rm{ }}2\) có \(a = 3, b = 8, b’ = 4, c = 2\).
Nên \(\Delta {\rm{ }} = {\rm{ }}{4^2}-{\rm{ }}3{\rm{ }}.{\rm{ }}2{\rm{ }} = {\rm{ }}10\), có hai nghiệm là:
\({x_1}\) = \(\frac{-4 - \sqrt{10}}{3}\), \({x_2}\)= \(\frac{-4 + \sqrt{10}}{3}\)
nên: \(3{x^2} + 8x + 2 = 3(x - {\rm{ }}{{ - 4 - \sqrt {10} } \over 3})(x - {\rm{ }}{{ - 4 + \sqrt {10} } \over 3})\)
\( = 3(x + {\rm{ }}