Bài 5. Cho tứ diện có các đỉnh là \(A(5 ; 1 ; 3), B(1 ; 6 ; 2), C(5 ; 0 ; 4), D(4 ; 0 ; 6)\).
a) Hãy viết các phương trình mặt phẳng \((ACD)\) và \((BCD)\)
b) Hãy viết phương trình mặt phẳng \((α)\) đi qua cạnh \(AB\) và song song với cạnh \(CD\).
Giải:
a) Mặt phẳng \((ADC)\) đi qua \(A(5 ; 1 ; 3)\) và chứa giá của các vectơ \(\overrightarrow{AC}(0 ; -1 ; 1)\) và \(\overrightarrow{AD}(-1 ; -1 ; 3)\).
Vectơ \(\overrightarrow{n}=\left [\overrightarrow{AC},\overrightarrow{AD} \right ] = (-2 ; -1 ; -1)\) vuông góc với mặt phẳng \((ACD)\).
Phương trình \((ACD)\) có dạng:
\(2(x - 5) + (y - 1) + (z - 3) = 0\).
hay \(2x + y + z - 14 = 0\).
Tương tự: Mặt phẳng \((BCD)\) qua điểm \(B(1 ; 6 ; 2)\) và nhận vectơ \(\overrightarrow{m}=\left [\overrightarrow{BC},\overrightarrow{BD} \right ]\) làm vectơ pháp tuyến.
Ta có :\(\overrightarrow{BC}(4 ; -6 ; 2)\), \(\overrightarrow{BD}(3 ; -6 ; 4)\) và
\(\overrightarrow{m}=\left (\begin{vmatrix} -6 & 2\\ -6 & 4 \end{vmatrix}; \begin{vmatrix} 2 &4 \\ 4& 3 \end{vmatrix};\begin{vmatrix} 4 & -6\\ 3& -6 \end{vmatrix} \right )\)
      \(= (-12 ; -10 ; -6)\)
Xét  \(\overrightarrow{m_{1}} (6 ; 5 ; 3)\) thì \(\overrightarrow{m}=-2\overrightarrow{m_{1}}\) nên \(\overrightarrow{m_{1}}\) cũng là vectơ pháp tuyến của mặt phẳng \((BCD)\). Phương trình mặt phẳng \((BCD)\) có dạng:
       \(6(x - 1) + 5(y - 6) +3(z - 2) = 0\)
hay  \(6x + 5y + 3z - 42 = 0\).
b) Mặt phẳng \(( α )\) qua cạnh \(AB\) và song song với \(CD\) thì \(( α )\) qua \(A\) và nhận
 \(\overrightarrow{AB} (-4 ; 5 ; 1)\),  \(\overrightarrow{CD}(-1 ; 0 ; 2)\) làm vectơ chỉ phương.
Vectơ \(\overrightarrow{n}=\left [\overrightarrow{AB},\overrightarrow{CD} \right ] = (10 ; 9 ; 5)\) là vectơ pháp tuyến của \(( α )\).
Phương trình mặt phẳng \(( α )\) có dạng : \(10x + 9y + 5z - 74 = 0\).