Bài 5. Cho tứ diện \(ABCD\) có cạnh \(AD\) vuông góc với mặt phẳng \((ABC)\). Biết rằng \(AC = AD = 4 cm\), \(AB = 3 cm, BC = 5 cm\).
a) Tính thể tích tứ diện \(ABCD\).
b) Tính khoảng cách từ điểm \(A\) tới mặt phẳng \((BCD)\).
Giải

Chọn hệ toạ độ gốc là điểm \(A\), các đường thẳng \(AB, AC, AD\) theo thứ tự là các trục \(Ox, Oy, Oz\).
Ta có: \(A(0; 0; 0), B(3; 0; 0)\)
           \(C(0; 4; 0), D(0; 0; 4)\)
Ta có: \(\overrightarrow {AB}  = (3; 0; 0) \Rightarrow AB = 3\)
           \(\overrightarrow {AC}  = (0; 4; 0)  \Rightarrow AC = 4\)
           \(\overrightarrow {AD}  = (0; 0; 4) \Rightarrow AD = 4\)
\(V_{ABCD}\) = \({1 \over 6}AB.AC.AD = 8 (cm^3)\)
b) Áp dụng công thức phương trình mặt phẳng theo đoạn chắn, ta có phương trình mặt phẳng \((BDC)\) là:
\({x \over 3} + {y \over 4} + {z \over 4} = 1 \Leftrightarrow 4x + 3y + 3z - 12 = 0\)
Từ đây ta có: \(d(A, (BDC)) ={{\left| {12} \right|} \over {\sqrt {{3^2} + {4^2} + {4^2}} }} = {{12} \over {\sqrt {34} }}\)