Bài 1. Cho lăng trụ lục giác đều \(ABCDEF.A'B'C'D'E'F'\), \(O\) và \(O'\) là tâm đường tròn ngoại tiếp hai đáy, mặt phẳng \((P)\) đi qua trung điểm của \(OO'\) và cắt các cạnh bên cúa lăng trụ. Chứng minh rằng \((P)\) chia lăng trụ đã cho thành hai đa diện có thể tích bằng nhau.
Giải

Gọi \(I\) là trung điểm của \(OO'\) thì \(I\) là tâm đối xứng của lăng trụ. Giả sử mặt phẳng \((P)\) đi qua \(I\) và chia khối lăng trụ thành hai phần (H₁) và (H₂).
Lấy điểm \(M\) bất kì thuộc (H₁) thì điểm \(M'\) đối xứng với \(M\) cũng nằm trong hình lăng trụ, và do đó \(M' ∈\) (H₂) và ngược lại, một điểm \(N ∈\) (H₂), lấy đối xứng qua \(I\) sẽ được \(N' ∈\) (H₁).
Do đó hai hình (H₁) và (H₂) đối xứng với nhau qua tâm \(I\).
Vì vậy thể tích (H₁) bằng thể tích (H₂)
Nhận xét: Trong một hình bất kì trong không gian mà có tâm đối xứng, thì mặt phẳng đi qua tâm sẽ chia hình không gian đó thành hai phần có thể tích bằng nhau.