Bài 51. Cho \(I, O\) lần lượt là tâm đường tròn nội tiếp, tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác \(ABC\) với \(\widehat{A}\) = \(60^0\). Gọi \(H\) là giao điểm của các đường cao \(BB'\) và \(CC'\)
Chứng minh các điểm \(B, C, O, H, I\) cùng thuộc một đường tròn.
Hướng dẫn giải:
Ta có: \(\widehat{BOC}\) = \(2\widehat{BAC}\) =  \(2.60^0\) = \(120^0\)       (1)
(góc nội tiếp và góc ở tâm cùng chắn một cung)
và \(\widehat{BHC}\) = \(\widehat{B'HC'}\) (đối đỉnh)
mà \(\widehat{B'HC'}\) = \(180^0\) - \(\widehat{A}\) = \(180^0- 60^0 = 120^0\)
nên \(\widehat{BHC}\) = \(120^0\)                 ⁽²⁾
\(\widehat{BIC}\) = \(\widehat{A}\) + \(\frac{\widehat{B}+\widehat{C}}{2}\)
          = \(60^0\) + \(\frac{180^{\circ}-60^{\circ}}{2}\) = \(60^0+ 60^0\) 
(sử dụng góc ngoài của tam giác)

Do đó \(\widehat{BIC}\) = \(120^0\)
Từ (1), (2), (3) ta thấy các điểm \(O, H, I\) cùng nằm trên các cung chứa góc \(120^0\) dựng trên đoạn thẳng \(BC\). Nói cách khác, năm điểm \(B, C, O, H, I\) cùng thuộc một đường tròn