Cho tam giác cân ABC (AB = AC), vẽ các đường cao BH, CK (H.66).
a)Chứng minh BK = CH.
b)Chứng minh KH//BC.
c)Cho biết BC = a, AB = AC = b. Tính độ dài đoạn thẳng HK.
Hướng dẫn câu c):
-Vẽ thêm đường cao AI, xét hai tam giác đồng dạng IAC và HBC rồi tính CH.
-Tiếp theo, xét hai tam giác đồng dạng AKH và ABC rồi tính HK.
 
Giải
 
a)Xét hai tam giác vuông BKC và CHB có:
\(\widehat {KBC} = \widehat {HCB}\) (∆ABC cân tại A)
BC là cạnh chung
=>∆BKC = ∆CHB
=>BK = CH
b)Ta có : AB = AC (∆ABC cân tại A)
BK = CH (∆BKC = ∆CHB) => AK = AH
Do đó : \({{AK} \over {AB}} = {{AH} \over {AC}}\) =>KH // BC (định lí Ta lét đảo)
c)BH cắt CK tại M =>M là trực tâm của ∆ABC
=>AM ⊥ BC tại I.
Ta có : ∆AIC ∽ ∆BHC vì \(\left\{ {\matrix{{\hat I = \hat H = {{90}^0}} \cr {\hat Cchung} \cr} } \right.\)
=>\({{IC} \over {HC}} = {{AC} \over {BC}}hay{ \over {HC}} = {b \over a} =  > HC = {{{a^2}} \over {2b}}\)
=>\(AH = b - {{{a^2}} \over {2b}} = {{2{b^2} - {a^2}} \over {2b}}\)
Mà HK // BC => \({{HK} \over {BC}} = {{AH} \over {AC}} =  > HK = {{BC.AH} \over {AC}}\)
=>\(HK = {a \over b}\left( {{{2{b^2} - {a^2}} \over {2b}}} \right) = {{2a{b^2} - {a^2}} \over {2{b^2}}}\)