Bài 62. Cho phương trình \(7x^2 + 2(m – 1)x – m^2= 0\)
a) Với giá trị nào của \(m\) thì phương trình có nghiệm?
b) Trong trường hợp phương trình có nghiệm, dùng hệ thức Vi-ét, hãy tính tổng các bình phương hai nghiệm của phương trình theo \(m\).
Giải
Xét phương trình \(7x^2 + 2(m – 1)x – m^2 = 0\) (1)
a) Phương trình có nghiệm khi \(\Delta’ ≥ 0\)
Ta có: \(\Delta’ = (m – 1)^2 – 7(-m^2) = (m – 1)^2 + 7m^2 ≥ 0\) với mọi \(m\)
Vậy phương trình (1) luôn luôn có nghiệm với mọi giá trị của \(m\)
b) Gọi \({x_1},{x_2}\) là hai nghiệm của phương trình (1)
Ta có:
\(\eqalign{
& x_1^2 + x_2^2 = {\left( {{x_1} + {x_2}} \right)^2} - 2{{\rm{x}}_1}{x_2} \cr
& = \left[ {{{ - 2{{\left( {m - 1} \right)}^2}} \over 7}} \right] - 2{{{{ { - m} }^2}} \over 7} \cr
& = {{4{m^2} - 8m + 4} \over {49}} + {{2{m^2}} \over 7} \cr
& = {{4{m^2} - 8m + 4 + 14{m^2}} \over {49}} \cr
& = {{18{m^2} - 8m + 4} \over {49}} \cr} \) 
Vậy \(x_1^2 + x_2^2 = {{18{m^2} - 8m + 4} \over {49}}\) .