Bài 7. Cho hình chóp tam giác \(S.ABC\) có \(AB = 5a, BC = 6a, CA = 7a\). Các mặt bên \(SAB, SBC, SCA\) tạo với đáy một góc \(60^0\). Tính thể tích của khối chóp đó.
Giải

Kẻ \(SH \bot (ABC)\) và từ \(H\) kẻ \(HI \bot AB, HJ \bot BC, HK \bot CA\).
Từ định lý ba đường vuông góc, ta suy ra:
\(SI \bot AB, SJ \bot BC, SK \bot AC\) do đó:
\(\widehat {SIH} = \widehat {SJH} = \widehat {SKH} = {60^0}\)
Từ đây ta có: \(△SIH = △SJH = △SKH\)
\( \Rightarrow IH = JH = KH\)
\( \Rightarrow  H\) là tâm đường tròn nội tiếp \(△ABC\).
Tam giác \(ABC\) có chu vi:
\(2p = AB + BC + CA = 18a\)
\( \Rightarrow  p = 9a\)
Ta có: \(p - AB = 4a\)
           \( p - BC = 3a\)
           \( p - CA = 2a\)
Theo công thức Hê-rông, ta có: \(S = \sqrt {9a.4a.3a.2a}  = 6{a^2}\sqrt 6 \)
Bán kính của đường tròn nội tiếp tam giác \(ABC\): 
\(IH = r = {{{S_{ABC}}} \over p} = {{6{a^2}\sqrt 6 } \over {9a}} \Rightarrow IH = {{2a\sqrt 6 } \over 3}\)
Đường cao \(SH\) của khối chóp: 
\(SH = r . tan60^0\) = \({{2a\sqrt 6 } \over 3}.\sqrt 3  = 2a\sqrt 2 \)
Thể tích khối chóp: 
\({V_{S.ABC}} = {1 \over 3}.2a\sqrt 2 .6{a^2}\sqrt 6  = 8{a^3}\sqrt 3 \)