Bài 4. Sử dụng phương pháp tính nguyên hàm từng phần, hãy tính:
a) \(∫xln(1+x)dx\);             b) \(\int {({x^2} + 2x + 1){e^x}dx}\)
c) \(∫xsin(2x+1)dx\);         d) \(\int (1-x)cosxdx\)
Hướng dẫn giải:
a) Áp dụng phương pháp tìm nguyên hàm từng phần:
Đặt \(u= ln(1+x)\)
     \(dv= xdx\)    
\(\Rightarrow du=\frac{1}{1+x}dx\) ,  \(v=\frac{x^{2}-1}{2}\)
Ta có: \(∫xln(1+x)dx = \frac{1}{2}.(x^{2}-1)ln(1+x)\)\(-\frac{1}{2}\int (x-1)dx)\)
                             \(=\frac{1}{2}.(x^{2}-1)ln(1+x)-\frac{1}{4}x^{2}+\frac{x}{2}+C\)
b) Tìm nguyên hàm t4ừng phần hai lần:
Đặt \(u = ({x^2} + 2x - 1)\) và \(dv=e^xdx\)
Suy ra \(du = (2x+2)dx\), \(v=e^x\)
. Khi đó:
\(\int {({x^2} + 2x{\rm{ }} - {\rm{ }}1){e^x}dx} \) = \(({x^2} + 2x{\rm{ }} - {\rm{ }}1){e^x}\) - \(\int {(2x + 2){e^x}dx} \)
Đặt : \(u=2x+2\); \(dv={e^x}dx\)
 \(\Rightarrow du = 2dx ;v={e^x}\)
Khi đó: \(\int {(2x + 2){e^x}dx} \)\(= {(2x + 2){e^x}}\)\(- 2\int {{e^x}dx} \)\(= {\rm{ }}{e^x}\left( {2x + 2} \right){\rm{ }}-{\rm{ }}2{e^x} + C\)
Vậy: \(\int {({x^2} + 2x{\rm{ }} - {\rm{ }}1){e^x}dx} ={e^x}({x^2} - 1){\rm{ }} + {\rm{ }}C\)
c) Đáp số: \(-\frac{x}{2}cos (2x+1)+ \frac{1}{4}sin(2x+1)+C\)
HD: Đặt \(u=x\); \(dv = sin(2x+1)dx\)
d) Đáp số : \((1-x)sinx - cosx +C\).
HD: Đặt \(u = 1 - x\)  ;\(dv = cosxdx\)