Áp dụng BĐT côsi ta có:
a² + bc ≥ 2.a√(bc) 
<=> 1/(a² + bc) ≤ 1/(2a√(bc))               (1)
tương tự ta có:
1/(b² + ac) ≤ 1/(2b√(ac))                      (2)
1/(c² + ab) ≤ 1/(2c√(ab))                      (3) 
lấy (1) + (2) + (3) 
=> 1/(a² + bc) + 1/(b² + ac) + 1/(c² + ab) ≤ 1/(2a√(bc)) + 1/(2b√(ac)) + 1/(2c√(ab)) 
<=>1/(a² + bc) + 1/(b² + ac) + 1/(c² + ab) ≤ √(bc)/2abc + √(ac)/2abc + √(ab)/2abc 
<=>1/(a² + bc) + 1/(b² + ac) + 1/(c² + ab) ≤ [√(bc) + √(ac) + √(ab) ]/2abc           (3)
Ta chứng minh:
√(ab) + √(bc) + √(ac) ≤ a + b + c 
thật vậy, áp dụng BĐT côsi ta được: 
a + b ≥ 2√(ab)            (*) 
a + c ≥ 2√(ac)            (**)
b + c ≥ 2√(bc)            (***) 
lấy (*) + (**) + (***) => 2(a + b + c) ≥ 2.[ √(bc) + √(ac) + √(ab) ]
<=> √(bc) + √(ac) + √(ab) ≤ a + b + c                   (4) 
từ (3) và (4) 
=> a/(a^2 + b^2) + b/(b^2 + c) + c/(c^2 + a^2) ≤ 1/2(1/a + 1/b + 1/c) ( Đpcm )