c) a^2+b^2+c^2+3 ≥ 2(a+b+c)
<=> a^2 - 2a + 1 + b^2 - 2b + 1 + c^2 - 2c + 1 ≥ 0
<=> (a-1)^2 + (b-1)^2 + (c-1)^2 ≥ 0 (luôn đúng ∀ a,b,c thuộc R)
=> đpcm

e) a^4 + b^4+c^4+1 ≥ 2a( ab^2-a+c+1)
<=> a^4-2(ab)^2 + b^4 + a^2-2ac+c^2 + a^2-2a+1 ≥ 0
<=> (a^2-b^2)^2 + (a-c)^2 + (a-1)^2 ≥ 0 (luôn đúng ∀ a,b,c thuộc R)
=> đpcm

f) a^2/4+b^2+c^2 ≥ ab-ac+2bc
<=> a^2/4 + b^2 + c^2 - ab + ac - 2bc ≥ 0
<=> (a^2/4 - ab +b^2) + c^2 + 2c(a/2 -b ) ≥ 0
<=> (a/2-b)^2 + c^2 + 2c(a/2 -b ) ≥ 0
<=> (a/2 -b +c)^2 ≥ 0 (luôn đúng ∀ a,b,c thuộc R)
=> đpcm

g) a^2(1+b^2)+b^2(1+c^2)+c^2(1+a^2) ≥ 6abc
VT= a^2(1+b^2)+b^2(1+c^2)+c^2(1+a^2)
=a^2+a^2b^2+b^2+b^2c^2+c^2+c^2a^2
Áp dụng BĐT Am-Gm cho 6 số không ta được
a^2+a^2b^2+b^2+b^2c^2+c^2+c^2a^2
≥ 6. căn bậc 6 (a^2.a^2b^2.b^2.b^2c^2.c^2.c^2a^2)
= 6. căn bậc 6 (a^6.b^6.c^6)
=6.labcl
≥6abc =VP
=> đpcm

h) a^2+ b^2 + c^2 + d^2 + e^2 ≥ a(b + c + d + e)
~~~
Ta có: a^2+ b^2 + c^2 + d^2 + e^2
= (a^2/4 + b^2) + (a^2/4 + c^2) + (a^2/4 + d^2) + (a^2/4 + e^2)
Lại có: (a/2 - b)^2 ≥ 0 (luôn đúng ∀ a,b thuộc R)
<=> a^2/4 - ab + b^2 ≥ 0
<=> a^2/4 + b^2 ≥ ab
Tương tự ta có:
a^2/4 + c^2 ≥ ac
a^2/4 + d^2 ≥ ad
a^2/4 + e^2 ≥ ae
Suy ra:
(a^2/4 + b^2) + (a^2/4 + c^2) + (a^2/4 + d^2) + (a^2/4 + e^2) ≥ ab + ac + ad + ae
<=> a^2+ b^2 + c^2 + d^2 + e^2 ≥ a(b + c + d + e)
=> đpcm

i) Áp dụng BĐT Am-Gm ta có:
1/a + 1/b ≥ 2.√(1/a.1/b) = 2/√ab
Tương tự:
1/b+1/c ≥ 2√(bc)
1/c+1/a ≥ 2/√(ca)
Cộng vế với vế 3 BĐT trên được:
2(1/a+1/b+1/c) ≥ 2/√ab+2√(bc)+2/√(ca)
<=> 1/a+1/b+1/c ≥ 1/√ab+1√(bc)+1/√(ca) (đpcm)

k) Áp dụng BĐT Am-Gm ta có:
a+b ≥ 2√ab
b+c ≥ 2√bc
c+a ≥ 2√ca
Cộng vế với vế 3 BĐT trên được:
2(a+b+c) ≥ 2(√ab+√bc+√ca)
<=> a+b+c ≥ √ab+√bc+√ca (đpcm)