Điều kiện a #b #c
Đặt: x = a - b ; y = b - c ; z = c - a (x;y;z khác 0).
=> x + y + z = a - b + b - c + c - a = 0. 
Ta có ( 1/x + 1/y + 1/z)^2 = 1/(x^2) + 1/(y^2) + 1/(z^2) + 2(1/xy + 1/yz + 1/zx)
= 1/(x^2) + 1/(y^2) + 1/(z^2) + 2(x + y + z)/xyz
= 1/(x^2) + 1/(y^2) + 1/(z^2) (vì x + y + z = 0).
=> ( 1/x + 1/y + 1/z)^2 = 1/(x^2) + 1/(y^2) + 1/(z^2), do 2 vế đều dương
=> căn bậc hai của 1/(x^2) + 1/(y^2) + 1/(z^2) = trị tuyệt đối của ( 1/x + 1/y + 1/z)
=> căn bậc 2 của 1:(a-b)^2 + 1:(b-c)^2 + 1:(c-a)^2 = trị tuyệt đối 1/(a-b) + 1/(b-c) +1/(c-a)
kết hợp với điều kiện a;b;c là số hữu tỉ ta có điều phải chứng minh.