Do (a,b)=1 nên không thể có cùng số dư khi chia cho 19.

Mà a^3 khi chia 19 sẽ dư:0,1,7,8,11,12,18(Xét a=19k,19k+-1,19k-2,...)

2b^3 chia 19 sẽ dư:0,2,3,14,16,5,17(nhân 2 lên rồi modun)(1)

Ta có:a^3+1997b^3 chia 19 sẽ dư a^3+2b^3

Để a^3+2b^3 chia hết cho 19 mà số dư của a^3 khi chia 19 là:0,1,7,8,11,12,18.  thì số dư của 2b^3 phải là:0,18,11,12,8,7,1(2)

Mà cặp số 0,0 không thỏa mãn vì do (*).

Từ điều trên kết hợp (1)(2)=>a^3+2b^3 không chia hết cho 19 với (a,b)=1