1. Cho ΔABC và các đường cao AI, BE, CF cắt nhau tại H
a) CMR: AI.HI = BI.CI
b) CMR: AH.AI + BH.BE + CH.CF = (AB^2 + BC^2 + AC^2)/2
2. Cho ΔABC nhọn, các đương cao AD, BE, CF cắt nhau tại H. Chứng minh rằng:
a) DA.DH = DB.DC và HA.HD = HB.HE = HC.HF
b) ΔFHE ∞ ΔBHC
c) H là giao điểm các đường phân giác của ΔDEF
d) Nếu ΔABC cân tại A, chứng minh: BC^2 = 2.AB.EC
3. Cho ΔABC và điểm O bất kì trong tam giác. Tia AO cắt BC ở M, tia BO cắt AC ở N và tia CO cắt AB ở P. Chứng minh:
a) OM/AM + ON/BN + OP/CP = 1
b) OA/OM + OB/ON + OC/OP ≥ 6
c) OA/OM.OB/ON.OC/OP ≥ 8
4. Cho hình vuông ABCD. Lấy I ∈ BC. Qua A vẽ đường thẳng (d) ⊥ AI. (d) cắt CD và BC tại E, K. Chứng minh rằng:
a) ΔAIK ∞ Δ DEA
b) AE^2 = ED.IK
c) CHo AB = 12cm; BI = 9cm; Tính BK, AK
d) Qua I vẽ IM // EC (M ∈ EA). Chứng minh rằng: nếu có AB^2 + EC^2 = 2MI^2 thì IM chia hình thang ECBA thành 2 phần có diện tích bằng nhau
5. Cho ΔABC, AA' ⊥ BC. H là trực tâm của ΔABC.
Chứng minh răngf: 4AA'.A'H ≤ BC^2
Dấu "=" xảy ra khi nàonào?
6. Cho ΔABC vuông cân tại C. Trung tuyến AM. Qua C kẻ đường ⊥ với AM cắt AB ở D. Tính tỉ số DB/DA?