Lấy điểm R∈AB|∠BCR =∠ABN . CR cắt BM tại K và BN tại E
Khi đó:       {∠BCR = ∠ABN
                  ∠RBC=∠NAB=90o
   ⇒△ABN∼△BCR             ⇒1=AB/BC=AN/BR    ⇒AN=BR(1)
Từ hai tam giác đồng dạng ta cũng suy ra ∠ANE=∠ANB=∠CRB=∠ERB
Xét tứ giác AREK có ∠A+∠ARE+∠ANE+∠NER=360o
⇔900+∠ARE+∠ERB+∠NER=3600
⇔900+1800+∠NER=3600⇒∠NER=900→BE⊥RK
Tam giác RBK có BE vừa là đường cao vừa là đường phân giác nên RBK là tam giác cân tại B
⇒ BR = BK (2) Từ (1),(2)⇒ AN = BK
Tam giá RBK cân ⇒∠BRK=∠BKR=∠MKC
Mà ∠BRK=∠KCM (so le trong) nên ∠MKC=∠KCM⇒△KMC cân tại M
⇒CM=MK
Do đó, AN+CM=BK+MK=BM (đpcm)