Với m,n là các số tự nhiên ta có x^(3n + 1) + x^(3p + 2) + x^(3m)
= [x^(3n + 1) - x] + [x^(3p + 2) - x^2] + (x^2 + x + 1) + (x^(3m) -1)
Cũng dễ thấy rằng
i/ x^(3n + 1) - x = x[(x^3)^n - 1] chia hết cho x^3 - 1, và vì x^3 - 1 chia hết cho x^2 + x + 1 nên x^(3n + 1) - x chia hết cho x^2 + x + 1.
ii/ x^(3p + 2) - x^2 = x^2[(x^3)^p - 1] chia hết cho x^3 - 1, và vì x^3 - 1 chia hết cho x^2 + x + 1 nên x^(3p + 2) - x^2 chia hết cho x^2 + x + 1.
iii/ x^(3m) -1 = (x^3)^m - 1 chia hết cho x^3 - 1, và vì x^3 - 1 chia hết cho x^2 + x + 1 nên x^(3m) - 1 chia hết cho x^2 + x + 1.
Từ đó suy ra [x^(3n + 1) - x] + [x^(3p + 2) - x^2] + (x^2 + x + 1) + (x^(3m) -1) chia hết cho x^2 + x + 1,
hay x^(3n + 1) + x^(3p + 2) + x^(3m) chia hết cho x^2 + x + 1. Đây là điều phải chứng minh.