b/ Ta có Vì M∈(O)M∈(O)Mà là đường kính của đường tròn (O) nên góc AMB là góc nội tiếp chắn nửa đường tròn
=>∠AMB=90o∠AMB=90o(1)
Mặt khác ta có AE; ME lần lượt là các tiếp tuyến tại A;M của (O)nên
AE=ME∠AEO=∠MEO và AE=ME∠AEO=∠MEO
Hay EP là phân giác đồng thời là đường cao hạ từ E đến AM của tam giác AME cân tại E=> ∠MPO=90o∠MPO=90o (2)
Tương tự có BE;MF lần lượt là tiếp tuyến tại B; M của (O) nên
BF=MF∠MFO=∠BFO và BF=MF∠MFO=∠BFO
Hay FQ là phân giác đồng thời là đường cao hạ từ F đến MB của tam giác FMB cân tại F=> ∠MQO=90o∠MQO=90o (3)
Từ (1);(2);(3) ta có tứ giác PMQO là hình chữ nhật (dấu hiệu 1)

c .
Nối P và H,H và Q,P và Q
Ta có:
Góc MPO = 90 độ (MPOQ là hình chũ nhật)
=>Góc EPM = 90 độ (kề bù)
=>EO vuông góc AM tại P =>AP=PM(định lí đường kính và dây)
Xét tam giác MAH vuông tại H:
AP=PM ( cmt)
PH ứng với AM
=>PH=AP=PM (tính chất trung tuyến trong tam giác vuông)
=> Tam giác MPH cân tại P
=>Góc PHM = góc PMH
Chứng minh tương tự,có tam giác MQH cân tại Q =>góc HMQ bằng góc MHQ
Xét tam giác PMQ và tam giác PHQ
PQ cạnh chung
MQ=QH (tam giác MQH cân tại Q cmt)
PM=PH (tam giác MPH cân tại P cmt)
=>tam giác PHQ = tam giác PMQ (c.c.c)
=>góc PMQ = góc PHQ =90độ (góc PMQ là góc trong hình chữ nhật = 90 độ)
=>tứ giác PMQH nội tiếp (tổng 2 góc đối = 180 độ)
=>Góc MPQ bằng góc MHQ (cùng chắn cung ảo MQ)
Mà góc MHQ = góc HMQ (Cmt)
=> Góc MPQ bằng góc HMQ
Ta có góc HMQ + HMP =90 độ (Góc PMQ =90 độ)
=>Góc MPQ + góc HMP = 90 độ
=> Góc PKM vuông => PK vuông góc HM
=>PK // AH (cùng vuông góc HM)
Xét tam giác vuông MHA vuông tại H
MP=PA (cmt)
PK//AH (cmt)
=> PK là đường trung bình của tam giác MAH
=> K trung điểm MH (tính chất đường trung bình)
=>MK=KH

d.
R*EF = MO*EF = 2*S(OEF) = (EF + OE + OF)*r
=> r/R = EF / (EF + OE + OF) < EF / (2*EF) = 1/2 (do EF < OE + OF)
r/R = EF / (EF + OE + OF) > EF / (EF + 2*EF) = 1/3
(do 2*EF = EF + EF > OE + OF)