Cau 4a
cần cm: (a+b+c)(1/a+1/b+1/c) ≤ 10 (♥)
<=> a/b + a/c + b/a + b/c + c/a + c/b ≤ 7 (♥♥)

không giãm tính tổng quát giả sử 1 ≤ a ≤ b ≤ c ≤ 2
ta có: (a-b)(b-c) ≥ 0 <=> ab+bc ≥ b² + ac (*)

chia 2 vế của (*) cho bc ta có: a/c + 1 ≥ b/c + a/b (1*)
chia 2 vế của (*) cho ab ta có: 1 + c/a ≥ c/b + b/a (2*)

lấy (1*) + (2*) và đổi hướng bđt ta có:
b/c + a/b + c/b + b/a ≤ 2 + a/c + c/a
=> a/b + a/c + b/a + b/c + c/a + c/b ≤ 2 + 2(a/c + c/a) (**)

do giả thiết: 1 ≤ a ≤ c ≤ 2 nên 1 ≤ c/a ≤ 2 => c/a - 2 ≤ 0 và c/a - 1/2 ≥ 0
=> (c/a - 1/2)(c/a - 2) ≤ 0 <=> (c/a)² - (5/2)(c/a) + 1 ≤ 0
=> (c/a)² + 1 ≤ (5/2).(c/a) (tiếp theo là chia hai vế cho c/a )
=> c/a + a/c ≤ 5/2 ; thay vào (**) ta có
a/b + a/c + b/a + b/c + c/a + c/b ≤ 2 + 2(5/2) = 7 vây (♥♥) đúng => (♥) đúng

dấu "=" khi c/a = 2 => c = 2, a = 1 , (b = 1 hoặc b = 2)
tức dấu "=" tại: a = b = 1; c = 2 hoặc a = 1, b = c = 2 và các hoán vị