k pải toán lp 8 pải k ạ
AB,BC,ACAB,BC,AC tỉ lệ với 4,7,54,7,5 ⇔AB4=BC7=CA5(∗)⇔AB4=BC7=CA5(∗)
a) Sử dụng công thức đường phân giác kết hợp với (∗)(∗) ta có:
MCBM=ACAB=54MCBM=ACAB=54
⇒MCBM+MC=54+5⇔MCBC=59⇒MCBM+MC=54+5⇔MCBC=59
⇒MC=59BC=59.18=10⇒MC=59BC=59.18=10 (cm)
b) Sử dụng công thức đường phân giác kết hợp với (∗)(∗) ta có:
NCNA=BCAB=74NCNA=BCAB=74⇔NC7=NA4⇔NC7=NA4
Áp dụng tính chất dãy tỉ số bằng nhau:
NC+NA7+4=NC7=NA4=NC−NA7−4NC+NA7+4=NC7=NA4=NC−NA7−4
⇔AC11=33=1⇒AC=11⇔AC11=33=1⇒AC=11 (cm)
c)
Vì AOAO là phân giác góc PACPAC, BOBO là phân giác góc PBCPBC nên áp dụng công thức đường phân giác:
OPOC=APAC=BPBCOPOC=APAC=BPBC
AD tính chất dãy tỉ số bằng nhau:
OPOC=APAC=BPBC=AP+BPAC+BC=ABAC+BCOPOC=APAC=BPBC=AP+BPAC+BC=ABAC+BC
Theo (∗)⇒AC=54AB;BC=74AB(∗)⇒AC=54AB;BC=74AB
OPOC=ABAC+BC=AB54AB+74AB=AB3AB=13OPOC=ABAC+BC=AB54AB+74AB=AB3AB=13
d) Áp dụng công thức đường phân giác:
⎧⎩⎨⎪⎪⎪⎪⎪⎪MBMC=ABACNCNA=BCABPAPB=ACBC⇒MBMC.NCNA.PAPB=ABAC.BCAB.ACBC=1{MBMC=ABACNCNA=BCABPAPB=ACBC⇒MBMC.NCNA.PAPB=ABAC.BCAB.ACBC=1
(đpcm)
Chứng minh 1AM+1BN+1CP>1AB+1BC+1AC1AM+1BN+1CP>1AB+1BC+1AC
Kẻ MH⊥AB,MK⊥AC,CL⊥ABMH⊥AB,MK⊥AC,CL⊥AB
Ta có bổ đề sau: sin(2α)=2sinαcosαsin⁡(2α)=2sin⁡αcos⁡α
Chứng minh :
Thật vậy, xét một tam giác ABCABC vuông tại AA có đường cao AHAH và trung tuyến AMAM, góc ∠ACB=α∠ACB=α
Khi đó: AM=MB=MC=BC2⇒△AMCAM=MB=MC=BC2⇒△AMC cân tại MM
⇒∠MAC=∠MCA=α⇒∠MAC=∠MCA=α
⇒∠HMA=∠MAC+∠MCA=2α⇒∠HMA=∠MAC+∠MCA=2α
⇒sin2α=sinHMA=HAMA=HABC2=2HABC⇒sin⁡2α=sin⁡HMA=HAMA=HABC2=2HABC (1)
Lại có: sinα=sin∠ACB=AHACsin⁡α=sin⁡∠ACB=AHAC
cosα=ACBCcos⁡α=ACBC
⇒sinαcosα=AHAC.ACBC=AHBC⇒sin⁡αcos⁡α=AHAC.ACBC=AHBC (2)
Từ (1); (2) suy ra sin2α=2sinαcosαsin⁡2α=2sin⁡αcos⁡α (đpcm)
------------------------------
Áp dụng vào bài toán:
Ta có: sinA=2sinA2cosA2sin⁡A=2sin⁡A2cos⁡A2
SABM+SAMC=SABCSABM+SAMC=SABC
⇔MH.AB2+MK.AC2=CL.AB2⇔MH.AB2+MK.AC2=CL.AB2
⇔AB.sinA2.AM+sinA2.AM.AC=sinA.AC.AB⇔AB.sin⁡A2.AM+sin⁡A2.AM.AC=sin⁡A.AC.AB
⇔AM=sinA.AB.ACsinA2.AB+sinA2.AC=2sinA2cosA2.AB.ACsinA2.AB+sinA2.AC⇔AM=sin⁡A.AB.ACsin⁡A2.AB+sin⁡A2.AC=2sin⁡A2cos⁡A2.AB.ACsin⁡A2.AB+sin⁡A2.AC
⇔AM=2cosA2.AB.ACAB+AC⇔AM=2cos⁡A2.AB.ACAB+AC
⇔1AM=AB+AC2AB.ACcosA2=12cosA2(1AB+1AC)⇔1AM=AB+AC2AB.ACcos⁡A2=12cos⁡A2(1AB+1AC)
Tương tự: 1BN=12cosB2(1BA+1BC)1BN=12cos⁡B2(1BA+1BC)
1CP=12cosC2(1CB+1CA)1CP=12cos⁡C2(1CB+1CA)
Cộng theo vế:
1AM+1BN+1CP=12cosA2(1AB+1AC)+12cosB2(1BA+1BC)+12cosC2(1CA+1CB)1AM+1BN+1CP=12cos⁡A2(1AB+1AC)+12cos⁡B2(1BA+1BC)+12cos⁡C2(1CA+1CB)
>12(1AB+1AC)+12(1BC+1AC)+12(1CB+1CA)>12(1AB+1AC)+12(1BC+1AC)+12(1CB+1CA) (do cosα<1cos⁡α<1 vì cạnh góc vuông luôn nhỏ hơn cạnh huyền)
⇔1AM+1BN+1CP>1AB+1BC+1CA⇔1AM+1BN+1CP>1AB+1BC+1CA
Ta có đpcm.