Bài 1:
c) Có K là trung điểm của BC (câu b)
G là trọng tâm của tam giác ABC nên
A;G;K thẳng hàng
Ta có : OK = 1/2 AH (câu b) (1)
GK = 1/2 GA (t/chất trọng tâm của ABC ) (2)
góc HAG = góc GKO ( so le trong vì AH // OK ) (3)
Do đó tam giác GAH đồng dạng tam giác GKO ( c.g.c)
=> góc HGA = góc KGO (góc tương ứng của 2 t.giác đ.dạng )
Mà A;G;K thẳng hàng nên
ta suy ra H , G , O thẳng hàng .

Câu 2:
a) Có ^AIH=90 độ
=> Điểm I thuộc đường tròn đường kính AH
=>Tam giác AHI nội tiếp đường tròn đường kính AH
Mà D là tâm của đường tròn ngoại tiếp tam giác AIH
=> D là trung điểm của AH
Có ^AKC=90 độ
=> Điểm K thuộc đường tròn đường kính AC
=>Tam giác AKC nội tiếp đường tròn đường kính AC
Mà E là tâm của đường tròn ngoại tiếp tam giác AKC
=> E là trung điểm của AC
Xét tứ giác AIKB có ^AIB=^AKB=90 độ
=> 2 đỉnh kề nhau I và K cũng nhìn đoạn AB dưới góc 90 độ
=> tứ giác AIKB nội tiếp đường tròn đường kính AB
Hay tam giác BKI nội tiếp đường tròn đường kính AB
Mà F là tâm của đường tròn ngoại tiếp tam giác BKI
=> F là trung điểm của AB
Có FD là đường trung bình của tam giác AHB
=> FD//BH
Mà BH vuông góc với AC
=> FD vuông góc với AC
Có E là trung điểm của AC
=> OE vuông góc với AC
Suy ra OE//FD
Chứng minh tương tự: ED//OF
Suy ra OEDF là hình bình hành (đpcm)

b. CH cắt AB tại J. C/m:
AK. BI. CJ=AB. BC. CA. cosBAC. sinACB. sinCBA (*)
AK. BI. CJ=AB. BC. CA. cosCAK. cosABI. cosBCJ
___________
Đề ở (*) bị sai. Thật vậy:
Xét tam giác AKC vuông tại K có:
sin ACB=sin ACK= AK/AC
=> AC. sin ACB= AK (1)
Xét tam giác BCJ vuông tại J có:
sin CBJ=sin CBA= CJ/BC
=> BC. sin CBA= CJ (2)
Xét tam giác ABI vuông tại I có:
sin BAI=sin BAC= BI/AB
=> AB. sin BAC= BI (3)
Từ (1),(2),(3) suy ra:
​AC. sin ACB. BC. sin CBA. AB. sin BAC= AK.CJ.BI
Hay AK. BI. CJ=AB. BC. CA. sin BAC. sinACB. sinCBA
__________
Xét tam giác AKC vuông tại K có:
cos CAK= AK/AC
=> AC. cos CAK= AK (4)
Xét tam giác ABI vuông tại I có:
cos ABI= BI/AB
=> AB.cos ABI= BI (5)
Xét tam giác BCJ vuông tại J có:
cos BCJ= CJ/BC
=> BC.cos BCJ= CJ (5)
Từ (3);(4);(5) suy ra:
AC. cos CAK. AB.cos ABI. BC.cos BCJ= AK.BI.CJ
Hay AK. BI. CJ=AB. BC. CA. cosCAK. cosABI. cosBCJ (đpcm)
​