Câu a)
Xét tứ giác ADME có: góc ADM + góc AEM= 90 độ + 90 độ= 180 độ
mà 2 góc này ở vị trí đối nhau
=> tứ giác ADME nội tiếp 
=> 4 điểm A,D,M,E cùng thuộc 1 đường tròn (đpcm)

Câu b) 
 tứ giác ADME nội tiếp  => góc AED= góc AMD ( 2 góc nt cùng chắn cung AD)
Xét (O) có: góc ACB= góc AMB ( 2 góc nt cùng chắn cung AB)
Suy ra góc ACB= góc AED
Cmtt ta được góc ADE= góc ABC
Suy ra ΔABC ~ ΔADE (g-g)
=> AB/AD=AC/AE
=> AB.AE=AD.AC (đpcm)

Câu c)
Nối B với F
Vì F đối xứng với M qua H nên HM=HF
Xét tam giác MBF có BH vừa là đường cao vừa là đường trung tuyến
=> tam giác MBF cân tại M
=> góc MBF= góc MFB
Lại có góc BMF= góc BCA ( 2 góc nt cùng chắn cung BA của (O) )
Suy ra góc BFM=  góc BCA
Mặt khác góc BFM+ góc FBH= 90 độ
=> góc BCA + góc FBC= 90 độ
=> BF ⊥ CA
Xét tam giác ABC có AH⊥Bc; BF⊥CA; AH giao BF tại F
=> F là trực tâm của tam giác ABC  (đpcm)