Bài 2: Ý tưởng ta sẽ chứng minh bằng phương pháp phản chứng:

Ta lập một bảng như hình:

Giả sử mỗi hàng có ít nhất một số hữu tỉ lúc này sẽ tồn tại 1 cột có 2 số hữu tỉ giả sử đó là:

n căn 2+a_k,m căn 2+a_k

=>(m-n) căn 2 là số hữu tỉ(Vô lý)

Do căn 2 là số vô tỷ.

Do đó có điều phải chứng minh...

Xét m+1 số bị chia là:

a,a^2,a^3,....a^(m+1)

Theo dirchlet thì tồn tại 2 số của dãy có hiệu chia hết cho m:
Giả sử đó là: a^k và a^(k+1)

Khi đó: a^k đồng dư a^(k+1) (modun m)
=>a^k.a^(k+1) đồng dư a^(k+1).a^(n-k)(modun m) với n>=k.

Hay với mọi n>=k ta luôn có a^n đồng dư a^(n+1). Đây chính là sự tuần hoàn cần phải chứng minh.

Bài 1:Nếu ta chọn một tập toàn số chẵn thì a^2+b^2 là hợp số. Trong tập A lại có 8 số chẵn nên k>8=>k>=9. Ta sẽ chứng minh k=9 là giá trị nhỏ nhất cần tìm.

Xây dựng dãy gồm 8 phần tử:

(1,4);(2,3);(5,8);(6,11);(7,10);(9,16);(12,13);(14,15)

Theo dirichlet toàn tại 2 phần tử cùng thuộc 1 số trong dãy trên nên ta sẽ có ngay điều phải chứng minh (Do tổng bình phương các số trong đó đều là snt)