Ta có :: x4+y4+z4=3⇒x4+y4+z4>0⇒x4+y4+z4=3⇒x4+y4+z4>0⇒ Cả ba số không đồng thời bằng không ⇒x2+y2+z2>0⇒x2+y2+z2>0
Áp dụng BĐT 3(a2+b2+c2)≥(a+b+c)23(a2+b2+c2)≥(a+b+c)2,, ta có ::
9=3.3=3(x4+y4+z4)=3[(x2)2+(y2)2+(z2)2]≥(x2+y2+z2)2⇔0<x2+y2+z2≤39=3.3=3(x4+y4+z4)=3[(x2)2+(y2)2+(z2)2]≥(x2+y2+z2)2⇔0<x2+y2+z2≤3
Khi đó :: Áp dụng BĐT BunyakovskyBunyakovsky,, ta có ::
(x2+y2+z2)(x6+y6+z6)=(x2+y2+z2)[(x3)2+(y3)2+(z3)2]≥(x4+y4+z4)2=32=9(x2+y2+z2)(x6+y6+z6)=(x2+y2+z2)[(x3)2+(y3)2+(z3)2]≥(x4+y4+z4)2=32=9
⇔x6+y6+z6≥9x2+y2+z2≥93=3⇔x6+y6+z6≥9x2+y2+z2≥93=3
Đẳng thức xảy ra ⇔{x2=y2=z2x4+y4+z4=3⇔⋯⇔{x2=y2=z2x4+y4+z4=3⇔⋯
Tiếp tục áp dụng BĐT BunyakovskyBunyakovsky,, ta có ::
(x3+y3+z3)2=(x.x2+y.y2+z.z2)2≤(x2+y2+z2)(x4+y4+z4)=3(x2+y2+z2)≤3.3=9⇒x3+y3+z3≤3(x3+y3+z3)2=(x.x2+y.y2+z.z2)2≤(x2+y2+z2)(x4+y4+z4)=3(x2+y2+z2)≤3.3=9⇒x3+y3+z3≤3
Đẳng thức xảy ra ⇔{x=y=zx4+y4+z4=3⇔⋯⇔{x=y=zx4+y4+z4=3⇔⋯
Vậy ⋯